数值积分与数值微分习题课.doc

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1、数值积分与数值微分习题课一、已知，给出以这3个点为求积节点在上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为故所求的插值型求积公式为二、确定求积公式的代数精度，它是Gauss公式吗？证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验依次取，有本题已经达到2n-1=5。故它是Gauss公式。三、试应用复合梯形公式计算积分要求误差不超过，并把计算结果与准确值比较。解：复合梯形公式的余项为本题，本题余项为要使，得，取得于是有检验：四、证明若函数，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong插值余项证明梯形求积公式的余项为证明：不妨设一阶差商函数为，，有由的任意

2、性，可知一阶差商函数是连续函数。由插值特点，显然有线性插值的Newton余项公式为故有由可知是变量在上的连续函数，而函数在上可积，不变号，根据积分中值定理，存在，使由差商性质，存在，使。所以结论得证。五、导出中矩形公式的余项。解：将在处进行泰勒展开。对上式两边在上积分，有中矩形公式的余项六、设数值求积公式,代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式.证:充分性.设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数余项为由知代数精度至少为n-1必要性.设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式原式成立等号,特别地取Lagrange插值基函数,有因为所以故原

3、式为插值型求积公式.七、令P(x)是n次实多项式,满足证明P(x)在开区间(a,b)中有n个实单根.证明:因为，所以P(x)在[a,b]上至少有一个零点。若P(x)有k(1)个零点，i=1,2,…,k在[a,b]上，则有，及，所以若零点个数，有矛盾，因此，即在[a,b]至少有n个零点,但P(x)是n次实多项式，故k=n。八、已知点和，用该信息计算定积分。解：记为关于节点的Hermite插值多项式：所以有误差为九、验证Gauss型求积公式求积系数及节点分别为，,，。解：因为上述Gauss型求积公式的代数精度为3，所以对进行检验即可将如下两组分别代入，可知满足方程。