数值计算方法习题答案习题八常微分方程数值解法.doc

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1、习题八环境与资源学院　环境工程系仲建强学号：20046420701.解：由Euler格式　可知，其中　　　　　　取便有　　　　由题意知，　采用Euler格式计算得　　　　　　　因此解得　2.证明：对于隐式Euler格式，若假定则有　　　　依Taylor公式　　　　因此有　所以隐式Euler格式是一阶方法，其局部截断误差的主项为证明：对于Euler两步格式，若假定则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　依Taylor公式　　　　因此有　所以Euler两步格式是二阶方法，其局部截断误差的主项为3.证明：对于梯形公式，若假定则在处展开有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　依

2、Taylor公式　　　　　　　　因此有　　　　　　　所以梯形公式是二阶方法的，其局部截断误差的主项为4.解：Euler格式为由已知可得因此，导出的Euler格式的近似解证明：改进的Euler格式为　　　由已知及代入上式可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　和精确解相比较，在处时，由此可知，改进的Euler格式能准确求出这一初值问题的解。5.解：由梯形公式　可知，　　　　其中　　　　　　取便有　　　　　　　　　　　　　　　由计算得：　　　　6.解：将积分转化为　，并且取。　　利用改进的Euler格式　　　　　　　　　　　其中　　当时，　　　当时，　　　当时，

3、　　　当时，　　　当时，　　　7.证明：由题意可知　　　梯形公式为　　　　　　则　　　　将代入上式得　　　　　　　　　　　　　　　移项整理有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明得　　证明：　　　　　　　　　　　　　因此当时，它收敛于原初值问题的准确解8.解：现取步长利用四阶经典Runge-Kutta格式来计算，　　　　　则分别为　　　　　　　　　　　　　　　化简为　　　　　　　　　　　　　　计算结果如下表所示：　　　四阶经典Runge-Kutta格式00110.211.21.221.4441.242820.41.44281.687081.7115081.9

4、8510161.5836359230.61.98363592.28199952.3118362.64600312.04421291268840.82.64421293.00863423.0450763.45322822.65104165155751.03.45104173.89614583.2670764.43917293.391596946536现取步长利用四阶经典Runge-Kutta格式来计算，　　　　　则分别为　　　　　　　　　　　　　　　化简为　　　　　　　　　　　　　　计算结果如下表所示：四阶经典Runge-Kutta格式00110.233.54545453.6

5、9421487612.235537191.990495867820.44.97623975.74181505.9184862346.8018423883.160452018830.66.77239727.67538357.8559807338.8718403104.717350882440.88.84503299.885625010.0692589111.2186711086.716466611051.011.194111012.372438512.5584902013.8422469779.21307379059.解：用二阶Adams显式来计算：　　　　　　其显式格式为　

6、　　　　　　取　即　　　用二阶Adams隐式来计算：　　　　　　其隐式格式为　　　　　　　取　即　　　　　　把代入上式，得　　　计算结果如下表所示：二阶Adams显式二阶Adams隐式精确解0000010.20.1810.1818181820.18126920020.40.32670.3305785130.32968995430.60.446790.4522915110.45118836440.80.5454230.5518748720.55067103651.00.62647510.6333521680.63212055910.解：设则有　　　　　　由于并将上式在处Tay

7、lor展开得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在处Taylor展开有　　　因此，上述计算格式是二阶的，其局部截断误差的主项为11.解：对于上述的四阶方法，若假定则有　　　　　　　　　　　　　　　由此可知，当时，和的系数均为即因此存在某个常数可以使上述格式为四阶。