欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:37597489
大小:4.53 MB
页数:22页
时间:2019-05-12
《计算方法七常微分方程的数值解法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6章常微分方程的数值解法考虑常微分方程的初值问题(6-1)(6-2)则(6-1)的解存在且唯一。或与其等价的积分方程,对任意满足Lipschitz条件,即存在常数,均有若它是一种离散化方法,利用这种方法,可以在一系列事先取定的中的离散点(称为节点)上求出未知函数之值的近似值。而通常称为初值问题的数值解。首先我们利用数值积分公式建立求解(6-1)或(6-2)的数值方法。什么是数值解法?(通常取成等距,即称为步长)其中6.1.1基于数值积分的解法由(6-2),将节点取为(6-3)的近似值如果的近似值已经求出,则通过计算(6-3)右端项的数值积分可求出首先,对(6-3)右
2、端积分项使用左矩形求积公式,则得令上式称为Euler求解公式,又称矩形公式。(6-4)一、Euler法欧拉LéonardEuler莱昂纳尔·欧拉(LéonardEuler,1707~1783)是历史上著作最多的数学家,被同时代的人称为“分析的化身”。人们评价他:“欧拉计算毫不费力,就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样”,欧拉--算法学家,为解决特殊类型的问题设计“算法”的数学家。欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年(1727年)。他在1748年、1755年和1768~1770所著关于微积分的伟大论著(《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》),立即就成为了经
3、典著作,并且在四分之三个世纪中,继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人。欧拉1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔,其父是牧师,欧拉是能在任何地方、任何条件下工作的几个大数学家之一。他常常抱着一个婴儿写作他的论文,同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏着。据说,在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中,他就能草就一篇数学文章。欧拉是为月球问题形成一个可计算解(月球理论)的第一人。在生命最后17年中他完全失明,这并没有妨碍他的无以伦比的多产的;他既靠视觉又靠听觉记忆。它还有惊人的心算本领,不仅心算算术类型的问题,也心算高等代数和微积分学中要求的更难的问题。他那个时代整个数学领域中
4、的全部主要公式,都精确地储藏在他的记忆中。欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷,他享年77岁,于1783年9月18日去世。那天下午她计算气球上升的规律消遣—像往常一样,在他的石板上计算,然后他和家人一起吃晚饭。天王星是新近发现的,欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会儿,他让人把他的孙子带进来。在与孩子玩和喝茶的时候,欧拉突然中风。烟斗从他的手里掉下来,他说了一句“我死了”,就中止了他的生命和计算。用Euler公式计算初值问题的解在处的数值解。小数点后保留4位)。例:(取步长,解:相应的Euler公式:由初值,计算得Euler法(切线法)的几何解释隐Euler法
5、首先,对(6-3)右端积分项使用右矩形求积公式,则得令上式称为隐Euler公式,又称右矩形公式。(7-4)二、梯形法对(6-3)右端的积分使用梯形求积分式计算,则得令上式称为梯形公式,简称梯形法.(6-5)将Euler公式与隐式Euler公式做算术平均,也可得出梯形公式二、梯形法对(7-3)右端的积分使用梯形求积分式计算,则得令,(6-5)上式称为梯形求解公式,简称梯形法.梯形公式与Euler公式相比要精确的多,但是梯形公式的计算量要大一些。每步计算要解一个关于的非线性方程,从而要用如下迭代公式:取初值为,反复迭代,即,,,若序列收敛于,当时,得到:则取为第个近似值。
6、如此迭代下去得到迭代序列:,,在实际计算中,通常要求满足为终止条件,此时取作为的近似值。为了避免求解非线性代数方程,可以用Euler法将它显化,(6-6)建立预测——校正系统:求解公式(6-6)称为改进的Euler法,其中称为预测值,称为校正值.其求解顺序为:改进的Euler法还可写成如下形式:(6-7)如果关于是线性函数,则隐式公式可以显式化。例,若方程为:后Euler公式:,梯形公式:三、Milne公式若在区间上,对(6-2)右端的使用Simpson求积公式,得令(6-8)(6-8)可写成(6-9)其中此为二步方法,需要已知和,才能由(6-9)计算出的值。二步以上
7、的方法也称为多步法。衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。定义假设,,则称为求解公式第n步的局部截断误差。定义为求解公式在点上的整体截断误差。如果设某求解公式的局部截断误差:这样我们就称该求解公式具有p阶精度。则我们可以证明其整体截断误差为:事实上,若则求解公式的精度越高,计算解的精确性可能越好。通过简单的分析,可知Euler法具有一阶精度,梯形法具二阶精度。下面利用Taylor展开,求Euler法的局部截断误差欧拉(LeonardEuler,公元1707-1783年),历史上最伟大的数学家之一,与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为有史以来贡献
此文档下载收益归作者所有