计算方法七常微分方程的数值解法

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1、第6章常微分方程的数值解法考虑常微分方程的初值问题(6-1)(6-2)则（6-1）的解存在且唯一。或与其等价的积分方程，对任意满足Lipschitz条件，即存在常数，均有若它是一种离散化方法，利用这种方法，可以在一系列事先取定的中的离散点（称为节点）上求出未知函数之值的近似值。而通常称为初值问题的数值解。首先我们利用数值积分公式建立求解（6-1）或（6-2）的数值方法。什么是数值解法？（通常取成等距，即称为步长）其中6.1.1基于数值积分的解法由（6-2），将节点取为（6-3）的近似值如果的近似值已经求出，则通过计算(6-3)右端项的数值积分可求出首先，对(6-3)右

2、端积分项使用左矩形求积公式，则得令上式称为Euler求解公式，又称矩形公式。(6-4)一、Euler法欧拉LéonardEuler莱昂纳尔·欧拉（LéonardEuler,1707～1783）是历史上著作最多的数学家，被同时代的人称为“分析的化身”。人们评价他：“欧拉计算毫不费力，就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样”，欧拉--算法学家，为解决特殊类型的问题设计“算法”的数学家。欧拉的数学事业开始于牛顿去世的那一年（1727年）。他在1748年、1755年和1768～1770所著关于微积分的伟大论著(《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》)，立即就成为了经

3、典著作，并且在四分之三个世纪中，继续鼓舞着想成为大数学家的的年轻人。欧拉1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，其父是牧师，欧拉是能在任何地方、任何条件下工作的几个大数学家之一。他常常抱着一个婴儿写作他的论文，同时稍大一点的孩子们在他周围嬉戏着。据说，在家人两次叫他吃饭的半个小时左右的间隔中，他就能草就一篇数学文章。欧拉是为月球问题形成一个可计算解（月球理论）的第一人。在生命最后17年中他完全失明，这并没有妨碍他的无以伦比的多产的；他既靠视觉又靠听觉记忆。它还有惊人的心算本领，不仅心算算术类型的问题，也心算高等代数和微积分学中要求的更难的问题。他那个时代整个数学领域中

4、的全部主要公式，都精确地储藏在他的记忆中。欧拉直到他临终的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷，他享年77岁，于1783年9月18日去世。那天下午她计算气球上升的规律消遣—像往常一样，在他的石板上计算，然后他和家人一起吃晚饭。天王星是新近发现的，欧拉略述了对它的轨道的计算。过了一会儿，他让人把他的孙子带进来。在与孩子玩和喝茶的时候，欧拉突然中风。烟斗从他的手里掉下来，他说了一句“我死了”，就中止了他的生命和计算。用Euler公式计算初值问题的解在处的数值解。小数点后保留4位）。例：（取步长，解：相应的Euler公式：由初值，计算得Euler法（切线法）的几何解释隐Euler法

5、首先，对(6-3)右端积分项使用右矩形求积公式，则得令上式称为隐Euler公式，又称右矩形公式。(7-4)二、梯形法对(6-3)右端的积分使用梯形求积分式计算，则得令上式称为梯形公式，简称梯形法．(6-5)将Euler公式与隐式Euler公式做算术平均，也可得出梯形公式二、梯形法对(7-3)右端的积分使用梯形求积分式计算，则得令，(6-5)上式称为梯形求解公式，简称梯形法．梯形公式与Euler公式相比要精确的多，但是梯形公式的计算量要大一些。每步计算要解一个关于的非线性方程，从而要用如下迭代公式：取初值为，反复迭代，即，，，若序列收敛于，当时，得到：则取为第个近似值。

6、如此迭代下去得到迭代序列：，，在实际计算中，通常要求满足为终止条件，此时取作为的近似值。为了避免求解非线性代数方程，可以用Euler法将它显化，(6-6)建立预测——校正系统：求解公式(6-6)称为改进的Euler法，其中称为预测值，称为校正值.其求解顺序为：改进的Euler法还可写成如下形式：(6-7)如果关于是线性函数，则隐式公式可以显式化。例，若方程为：后Euler公式：，梯形公式：三、Milne公式若在区间上，对(6-2)右端的使用Simpson求积公式，得令(6-8)(6-8)可写成(6-9)其中此为二步方法，需要已知和，才能由(6-9)计算出的值。二步以上

7、的方法也称为多步法。衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。定义假设，，则称为求解公式第n步的局部截断误差。定义为求解公式在点上的整体截断误差。如果设某求解公式的局部截断误差：这样我们就称该求解公式具有p阶精度。则我们可以证明其整体截断误差为：事实上，若则求解公式的精度越高，计算解的精确性可能越好。通过简单的分析，可知Euler法具有一阶精度，梯形法具二阶精度。下面利用Taylor展开，求Euler法的局部截断误差欧拉（LeonardEuler,公元1707-1783年），历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为有史以来贡献