高等代数(第6章).ppt

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1、第6章线性空间集合映射线性空间的定义与简单性质维数基与坐标基变换与坐标变换线性子空间子空间的交与和子空间的直和线性空间的同构§6.1集合映射作为本章的准备，介绍一些基本概念.1.集合（略）2.映射（mapping）(1)定义设M与M是两个集合，是一个对应法则，如果aM，通过，在M中有一个确定的元素a与之对应，则称为M到M的映射,记作:MM.特别地，如果:aa,aM,aM,也记作(a)=a.a在下的像a在下的一个原像如果:MM，称为M到自身的变换.特别地，有如下概念映射相等:、是集合M到M

2、的两个映射，如果aM都有(a)=(a)，则称它们相等，记作=.单位映射:设是集合M的一个变换，如果aM都有(a)=a，则称为M的单位映射或恒等映射，记作1M.函数是映射的特殊情形.例1M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义1(A)=AAM.2(a)=aEaP.例2P[x]是数域P上的一元多项式环，定义(f(x))=f(x)f(x)P[x]例3设M={1,2,3},M={东,西}.定义:1东，:2西是M到P的映射是P到M的映射是P[x]到P[x]的映射不是M到M的映射上述例子可以看出，映射具有三个要

3、素：定义域、到达域和对应法则，其中对应法则起重要作用.对应法则具有任意性、存在性和唯一性，即对定义域中的任意元素都有作用，其结果落在到达域中（存在性），结果是唯一的.(2)满射设是M到M的映射，以(M)表示M在映射下的像的全体，如果(M)=M,称是映上的或满射.（M中每个元素都有原像）如例1中1、例2中.(3)单射设是M到M的映射,如果(a)=(b),a,bM,则a=b,称是单射.如例1中2是单射；例1中1、例2中不是.(4)双射(1—1对应):既是满射又是单射的映射称为双射.如设M是一个集合,定义(a)

4、=a,aM,是双射.(5)映射的乘法定义设、分别是集合M到M及M到M的映射，规定()(a)=((a)),aM称为与的乘积.如例1中21：AAE为M到自身的映射.性质()=(),1M=1M=(6)逆映射设映射:MM.如果存在映射:MM使=1M，=1M则称映射可逆，并称为的逆映射.结论:可逆映射:MM的逆映射:MM是唯一的;若映射可逆，其逆映射记为-1.映射:MM可逆的充要条件是是双射.(证明略)§6.2线性空间的定义与简单性质在第3章，

5、已看到向量理论对于分析线性方程组问题所带来的优越性.在本章中,将把普通的向量理论加以推广,建立起线性代数更一般的基础理论,从而使向量以及向量空间的思想超越了一般的线性方程组问题，在更广泛的领域获得应用.1.定义称V为数域P上的线性空间.2.线性空间举例3.线性空间的基本性质定理设V是线性空间，则例1又思考与练习教材P2673.P2673.(5)证明：全体实数的二元数列集合V按如下规定的加法与数乘运算构成线性空间.解：显然V对定义的加法、数量乘法封闭.对加法满足交换律、结合律；(0,0)是零元，任意(a,b)的负元是(-a,a2-b);对数乘运算有

6、同理，有因此，V构成实数域上的线性空间.§6.3线性空间的维数、基与坐标第3章关于n维向量线性相关性的一系列概念和性质，本节平行地迁移到抽象的线性空间中，由此给出了线性空间的基、维数、向量在基下的坐标等一系列重要概念.为什么可以平行地迁移？有关线性相关性的一系列概念和性质，仅仅涉及到向量的线性运算所满足的规律，而在抽象的线性空间中，这些运算及运算律都成立.1.基本概念这里的加法、数乘是V中的,而并非普通向量的加法、数乘！例1记数域P上二阶矩阵的全体构成的线性空间为P22,试讨论P22中所给向量组的线性相关性.解：设有P中一组数k1,k2,k3

7、,k4使k1G1+k2G2+k3G3+k4G4=O比较分量，得该齐次线性方程组的系数行列式当a-3且a1时，D0.该方程组只有零解,从而G1,G2,,G3,G4线性无关；当a=-3或a=1时，D0.该方程组有非零解,从而G1,G2,,G3,G4线性相关.例2全体实数的二元数列集合V按如下规定的加法与数乘运算构成线性空间.解：设有实数k1,k2，使试在该空间中，讨论向量组1=(1,1),2=(s,t)的线性相关性.从而有将(1)代入(2),整理得2.线性空间的维数、基与坐标(1)线性空间的维数对于n元数组构成的向量空间，有n个线性无关的

8、向量，而任意n+1个向量都线性相关.在一个线性空间中，最多能有几个线性无关的向量?任意向量是否都能通过有限个向量线性表示?线性空间的向量