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1、复变函数积分的重要定理§2Cauchy-Goursat定理§3复合闭路变形原理------复周线情形的Cauchy-Goursat定理§4不定积分-----Newton-Libnize公式§5Cauchy积分公式§6高阶导数公式总结1§2Cauchy-Goursat定理一、Cauchy-Goursat积分定理二、Cauchy-Goursat定理的推广2定理柯西－古萨基本定理注：定理中的C可以不是简单曲线.此定理常称为柯西积分定理.一、Cauchy积分定理要求曲线一定要属于区域在上一定是解析的3与定理等价的形式是:如果闭曲线C的内部是区域,(即I(C)=D)4
2、二、Cauchy定理的推广(1)设在单连通域内解析，在闭区域上连续，为的边界曲线，则曲线不属于区域在上只是连续而已5例1解根据柯西定理,有例2证由柯西－古萨定理,6由柯西－古萨定理,由上节例4可知,7例3解根据柯西－古萨定理得89§3复合闭路变形原理复周线情形的Cauchy-Goursat定理1闭路变形原理2复合闭路变形原理10当闭合曲线内部包围被积函数的奇点，该积分通常不为零，但仍有一定的规律可以研究。11多条闭曲线情形的Cauchy定理根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连通域中.121闭路变形原理本定理直观意义为函数沿闭曲线积分,闭曲线在
3、区域内作连续变形而不经过奇点，则积分值不变。13即可看作柯西-古萨定理的推广2复合闭路变形原理(1)14称C+C1-+C2-+···+Cn-为复围线,记为Γ，包围着绿色复连通区域D。函数f(z)在绿色复连通区域D解析，紫色阴影是函数的奇点。设C为简单闭曲线，Ci(i=1,2…n)是在C内部的简单闭曲线，互不相交互不包含，C的内部与诸Ci的外部围成绿色复连通区域D(2)15则成立:本定理直观意义为函数沿闭曲线积分,闭曲线作连续变形而不经过奇点，可以断裂为多段闭曲线，而积分值不变。可看作柯西古萨定理的推广16解依题意知,例4根据复合闭路定理1718例5解圆环域的
4、边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,19例6解20由复合闭路定理,21例7解由上例可知22§4不定积分1.带变上限的积分2.原函数3.不定积分的定义23四、不定积分定理由定理可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关1.带变上限的积分:2425证利用导数的定义来证.定理26(1)由于积分与路线无关,2728由积分的估值性质,29此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]30(1)积分与路线无关,推论(1)f(z)在D内的积分与路线无关,由于在证明过程中只用到了两个结论:312.原函数的定义:原函数之间的关系:证32那末它就有无穷
5、多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]333.不定积分的定义:定理(复积分的Newton-Leibnitz公式)34证根据柯西基本定理,[证毕]注:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.35例8解例9解36例10解由牛顿-莱布尼兹公式知,37例10另解分部积分法38例11解利用分部积分法可得课堂练习答案39例12解40例13解所以积分与路线无关,根据N-L公式:41§5Cauchy积分公式（解析函数的无穷可微性）42Cauchy积分公式设函数f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点
6、，则第一种形式第二种形式43第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。此经典例题是柯西积分公式的特例，f(z)=144例1045§6解析函数的高阶导数46高阶导数公式设函数f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内任一点，则f(z)的导函数仍为解析函数，f(z)的n阶导数为第一种形式第二种形式47第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函数在C内有一个奇点z0，该奇点在被积函数解析式的分母。高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积分公式是高阶导数公式当n=0时的情
7、形。等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等数学中函数泰勒级数里(z-z0)n的系数。48例1149例12提示：曲线包围2个奇点，先用复合闭路变形原理化简5051总结：本节五个定理都是为积分计算服务1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点的积分。2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式).3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有多个奇点的积分。4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。521.通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:并注意定理成立的条件.知识点：532.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积
8、分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用
