复变函数第2章测验题参考解答.pdf

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1、2.1 解析函数2.1.1 极限与连续性2.1.2 导数·解析函数2.1.3 柯西一黎曼条件（15道题目）一、选择题1、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的（）．（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】由定义f(z)在点z解析要求f(z)在点z的一个邻域内可导，因此在z处一定可导。2但反之则不成立，例如函数f()zz在z0处可导但不解析，故选B.2、下列函数中，在复平面上为解析函数的是（）．222（A）xyx2yi（B）xx

2、yi2233（C）2(x1)yiyx(2)x（D）xiy【答案】C【解析】对于（A）中函数，22uxy(,)xyvxy,(,)2,xyu2,xv2,xu2,yv2,yxyyx只有在z0时才满足柯西黎曼条件，故在上均不解析.对于（B）中函数，2u(,)xyxv,(,)xyxy,ux2,vx,uvy0,,xyyx只有在z0时才满足柯西黎曼条件，故在上均不解析.对于（C）中函数，22uxy(,)2(1),(,)xyvxyyx2,xu2,yv2,yu2

3、(1),xvx22,国防科大“复变函数”xyyx在全平面都满足柯西黎曼条件，故是解析函数.故选C.对于（D）中函数，3322uxy(,)xvxy,(,)yu,3,xv3yu,0,v0,xyyx只有在yx时才满足柯西黎曼条件，故不是解析函数.23、函数f(z)3z在点z0处（）.（A）解析（B）可导但不解析（C）不可导（D）不连续【答案】B【解析】因为22222fz()3

4、z

5、3()xyu,3()xyv,0,6uxu,6yv,0,0v,xyxy仅当z0时,满足柯西黎曼

6、条件，故函数在z0可导，但不解析.故选B.1zz4、极限lim()（）．z02izz（A）等于0（B）等于1（C）等于-1（D）不存在【答案】D【解析】因为22112zzzzxylim()limlim22zzz00022izzizzxy2222xykxk取ykx，limlim，极限值与路径有关，所以极限不存在.22222zx00xyk(1)x(1k)故选D.z5、设函数f(z)e，则f(z)在z0处（）．（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但不解析（D）解析【答案】B

7、【解析】设zxiy，则zxxf()zeeyiyeyiy(cossin)(cossin)，xx由此得uxye(,)cos,(,)yvxyesiny，它们均为连续函数，所以f()z连续.因为xxxxueyueyveyveycos,sin,sin,cos，xyxy在(0,0)处uvxy1,1，uvxy，所以f()z在内无处可导，因此选B.二、填空题国防科大“复变函数”zzzz11、lim.2z1z1【答案】1zzzz1(z1)zz(1)z1【解析

8、】limlimlim1.22zz11zz11z1z12212、设函数f(z)xyiv(x,y)在复平面上解析，则f()的值为.2【答案】122fzuivuiuxyiz,【解析】由条件可知u(x,y)xy,()xxxy2221所以f()1.222223、若函数f()zxx2yyiya(xyx)在复平面内处处解析，那么实常数a.【答案】2【解析】因为2222令uxy(,)x2xyyvxy,(,)yaxyx.uxy22,2vyax,xy

9、uxy22,vayx2,yx由于函数在平面处处解析，所以满足柯西黎曼条件uvuvxyy,.x可得a2.4、设f(z)在复平面上连续,且满足f(0)1与f(z)f3(z),则f(z).【答案】-1.z【解析】由于f(z)f3(z)，或fzf()()，由此有3zzzfzf()()f()f()，2n333z根据f()z在z0处的连续性有fz()lim()ff(0)1.nn3三、是非题1、若函数f(z)在点z0处满足柯西-黎曼条件，则它在点z0处可微.()【答案】错误【

10、解析】在点z0处可微当且仅当u(x,y),v(x,y)可微，并且满足柯西-黎曼条件.例如，函数f()zxy(zxiy)，该函数在z0处满足柯西-黎曼条件，但不可导.2、若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0的该邻域内解析.()【答案】正确国防科大“复变函数”【解析】因为函数在一个区域内解析等价于函数在该区域内可导.3、若f(z)在区域D内解析，且f