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1、第35卷第12期数学的实践与认识Vol.35No.122005年12月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYDecem.,2005关于多个子空间的交空间与维数公式的推广123王新民,孙霞,张景晓(1.潍坊学院数学系,山东潍坊261043)(2.山东信息职业技术学院基础部,山东潍坊261061)(3.德州学院数学系,山东德州253023)摘要:通过讨论,得到了关于多个子空间的交空间的进一步的结果.并利用这些结果,给出了维数公式的一个新的推广形式,从而完善了维数公式的理论.关键词:分块矩阵;交空间;维数公
2、式1引言在文[1]中,通过对分块矩阵的讨论,得到了关于多个子空间的交空间的直接求法.本文进一步加强了文[1]的理论结果,并利用这些结果,给出了维数公式的一个新的推广形式,从而完善了维数公式的理论.本文约定,Mm×n(P)表示数域P的全体m×n矩阵,VA表示矩阵A的行空间,其它记法同文[2].为讨论的方便,引述文[1]的两个结论如下:引理1设A∈Mm×n(P),B∈Mk×n(P).若vQ∈Mk×m(P),使B=QA,则VBAVA.引理2设Ai∈Mm×n(P),Ai≠O,i=1,2,⋯,s.令iA1O⋯OOA2A2⋯OOC=⋯
3、ww⋯⋯.OOwAs-1OOO⋯AsAs则存在可逆矩阵Q,使得QC为阶梯形矩阵,其如下分块形式D1*⋯**OD2⋯**QC=⋯⋯w⋯⋯(1)OO⋯Ds-1*OO⋯ONs满足si∩i=1VAi=VNs,j∩=1VAj+VAi+1=VDi,i=1,2,⋯,s-1其中Di∈Mr×n(P),且rankDi=ri即Di为行满秩矩阵,i=1,2,⋯,s-1.特别地,当Nsi收稿日期:2002-11-1412期王新民,等:关于多个子空间的交空间与维数公式的推广167s不出现时,有∩VA=O.i=1i对文[1]中的定理2,有以下进一步的结
4、果:定理1在引理2的条件下,对任意可逆矩阵R,若RC为阶梯形矩阵,且具有如下分块形式G1*⋯**OG2⋯**RC=⋯⋯w⋯⋯(2)OO⋯Gt-1*OO⋯OMt其中Gi∈Mp×n(P),且rankGi=pi即Gi行满秩,i=1,2,⋯,t-1.则t=s且itii∩=1VAi=VMt,∩j=1VAj+VAi+1=VGi,i=1,2,⋯,t-1s特别地,当Mt不出现时,有∩VA=O.i=1i证明由引理2,只要证明(1),(2)的右端分块形式相同,且VM=VN,VG=VD,i=ssii1,2,⋯,s-1即可.因为Q,R可逆,令Q0
5、=RQ-1,则Q0可逆,且由(1),(2)得D1*⋯**G1*⋯**OD2⋯**OG2⋯**Q0⋯⋯w⋯⋯=⋯⋯w⋯⋯(3)OO⋯Ds-1*OO⋯Gt-1*OO⋯ONsOO⋯OMt先证明(1),(2)的右端分块形式相同.由于其列的分法相同,所以t=s.由此,只要证--明其行的分法相同即可.设Di,Gi分别表示由(1),(2)两式右端的前i列块作成的矩阵,i---=1,2,⋯,s-1.则(3)式又有列分块形式Q0Di*=Gi*,即Q0Di*=-Gi*,i=1,2,⋯,s-1.由于(1),(2)两式右端列的分法相同,所以上式两
6、端的分块形----式相同.从而有Q0Di=Gi,i=1,2,⋯,s-1.所以rankQ0Di=rankGi,i=1,2,⋯,s---1.又因为Q0可逆,所以rankDi=rankGi,i=1,2,⋯,s-1.而Di,Gi都为行满秩矩阵,所以-rankDi=rankD1+rankD2+⋯+rankDi,i=1,2,⋯,s-1.-rankGi=rankG1+rankG2+⋯+rankGi,i=1,2,⋯,s-1.从而有rankD1+rankD2+⋯+rankDi=rankG1+rankG2+⋯+rankGi,i=1,2,⋯,s
7、-1当i=1时,有rankD1=rankG1;当i=2时,由rankD1=rankG1可得rankD2=rankG2;依次类推,有rankDi=rankGi,i=1,2,⋯,s-1.又由于Di,Gi都为行满秩矩阵,所以Di,Gi的行数相同,即pi=ri,i=1,2,⋯,s-1.从而Ns与Ms的行数相同,或者Ns与Ms都不出现.即(1),(2)两式右端的分块形式相同.再证明VMs=VNs,VGi=VDi,i=1,2,⋯,s-1.因为(1),(2)两式右端的分块形式相同,所以可对矩阵Q0进行如下形式的分块168数学的实践与认识
8、35卷Q11Q12⋯Q1(s-1)Q1sQ21Q22⋯Q2(s-1)Q2sQ0=⋯⋯⋯⋯⋯Q(s-1)1Q(s-1)2⋯Q(s-1)(s-1)Q(s-1)sQs1Qs2⋯Qs(s-1)Qss其中Qij∈Mr×r(P),i,j=1,2,⋯,s.由分块矩阵的乘法,考虑(3)式两端的第1列可ij得,Q21D1
