【精品】数值分析6-1.doc

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1、3.高阶Rung-kutta公式从上面讨论的二阶Rung-kutta公式的推导过程中,看到构造二阶Rung-kutta公式的过程可分为如下几步:第一步:在区间[a;,x/+i]±取两点,预报相应的斜率值;第二步:对此两斜率值加权平均作为平均斜率值的近似值;第三步:写出局部截断误差的表达式,对有关函数作Taylor展开,得到关于力的帚级数.为使公式达到二阶精度,胪,/「/前的系数必须为零,从而建立有关参数应满足的方程组;第四步:解此方程组得一族Rung-kutta公式.按上面的步骤,如果要建立更高精度的Rung-炷"加公式,在区间上

2、除兀•和和/夕卜,可再增加一点x.+w=xz.+mh(/

3、=f(xi+仮X+IhkJk3=f(xi+mh.+讪(卩出+//2*2))写出(6.14)的局部截断误差,应用Taylor展开方法,适当选择参数人,A2,A3,//,,卩“I,m,是上面公式具有三阶精度•采用与上面相同的处理方法,可以得到这些参数需满足的条件是:Mi+“2=1A3bnp2=—<&+丸2+人=1及v°dd122/2+^m2/l2/+/i3m=—--称满足这一条件的公式(6.14)为三阶Rung-kutta公式.其屮最常用的是好血公式:X+1=.片+2伙]+4爲+心)o(6.15)心=.f(W)7—hh】、k2k3=f

4、(Xj+h,yz-hk}+2hk2))若须再将精度提高至四阶,可川类似的方法处理,即在区河[石,兀+J上用4个点处的斜率值的加权平均作为Q的近似值,构成一族四阶Rung-kutta公式.由于在实际应用屮被经常使用,故称为经典R-K方法,英形式为加=兀+3伙1+2心+2心+忍)Ok=f(xi,yi)

5、增加的(见下表),就可知再提高公式阶数已没有多大意义.这进一步说明了四阶Rung-kutta公式是兼顾了精度及计算量的较理想的计算公式.Rung-kutta公式计算/(兀,y)的次数与精度的关系每步计算f的次数:23456789精度的阶数:23445667需要指岀的是Rung-kutta方法的推导是在Taylor展开方法的基础上进行的,因而它要求所求的解具有较好的光滑性•假如解的光滑性较羌,那么使川四阶Rung-kutta公式求得的数值解,其精度可能反而没有用改进的欧拉公式求得的高.因此在实际计算时,应当针对问题的具体特点,选择合

6、适的算法.三、单步法的稳定性1.算法的收敛性一般地,单步法的显式形式可以表示成儿+i=(6.17)定义:如果对于任意固定的=x()4-nh,当力TO时,由单步法(6.17)产生的近似解儿均有lim儿=y(xn),则称方法是收敛的.力一>0・口T8可以证明:(1)对于一个"阶的显式单步法(6.17)如果满足:单步法的初值是精确的;增量函数(p(xH,儿,h)关于y满足Lipschtiz条件,即存在常数L>0使0(X,”,h)一0(兀,儿,R)

7、54儿一)‘2I,巧'1,)‘2GR则该方法是收敛的且熬体截断误差为

8、y(兀)-儿I=0(

9、h)(2)对于一个°阶的显式单步法(6.17),若微分方稈的右端函数.f关于y满足Lipschtiz条件,且初值是精确的,则显式纟厂公式,改进D〃纟厂公式,R-K方法都是收敛的.2.方法的数字稳定性首先为了讨论方便,将微分方程)/二/(x,y)的f(^y)在其解域内的某点⑺劝作Taylor展开并局部线性化:fix、y)=f(a,b)+fx(a9b)(x一d)+f(a,b)(y-方)+…■r二fa,方)y+C[兀+C2+…忽略高阶项,令几二fy(a,b),则y'=f(x,y)=Ay+qx+c.再设:y=u-^-x-^-则微分方程可表

10、示为:/二2".这说明,一般形式的一阶微分方稈总能化AA成如下的模型方程:yf=Ay(6.18)下面我们通过模熨方程来讨论方法的稳定性•这里的稳定性指的是所谓的绝对稳定性,即当在某一步儿有舍入误差时,则它在以后的计算屮不会逐步扩大.对显式的Eule

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