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《§4–5 导数的简单应用 基础知识导学.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§4-7微分基础知识导学1.定义如果两数_y=f(x)在点x的某一邻域内有定义，且当自变量兀有改变量时，函数y有改变量△)，Ay=f(x+Ax)-f(x)=A•Ax+o(Ax)(Ax—0)其中A与"无关，则称A*Ax为函数/(Q在点x处的微分，记作dy或〃⑴即dy=A•△x或妙(x)=4•△x此时也称函数y=f(x)在点x处可微。当AHO时两数的微分dy=A-也称作两数的改变＞Ay的线性主部。2.可微与可导的关系定理函数y=f(x)在x点可微的充要条件是：函数)=/(x)在兀点可导。换言之，若函数y=f(X)在x点可导，则它在x点可微，且dy=fx(x)AX
2、；反之若函数在x点可微dy=4・Ax,即,则它在x点可导，且fz(x)=A乂因自变量的微分就等于自变量的改变量，即dx二△兀，所以dy=f'(x)dx有厂⑷=牛ax即函数y=f(X)在X处的导数等于函数的微分与B变量的微分之商，故导数也称作微商。3.微分的几何意义两数f(x)在处的微分dy=f(xQ)dx即为切线MT上的点的纵坐标的增量(如图所示)dy=NT4.微分的基本公式和运算法则由dy=厂⑴心和导数的基本公式，可得如下微分基本公式：(1)d(C)=O(C为常数)(2)d{xa尸axa]dx(a为任意实数)(3)d(sinx)=cosxdx(4)d(
3、cosx)=-sinxdx(5)d(tgx)=see2%dx(6)d(etgx)=-esc'xdx(7)d(aA)=axadx(1)d(eA)=eXdx(10)d(ln
4、x)=—dxX(2)d(log*x
5、)=1dx(a>0,aHl)xa(11)1d(arcsinx)=-zdxa/1-x2(12)d(arccosx)=/dxVl-x2(13)1d(arctgx)=dxl+x2(14)1d(arcctgx)=dx1+x2(15)d(shx)=chxdx(16)cl(chx)=shxdx(17)1d(thx)=dxcnx对应于求导的远算法则有下面的微分
6、运算法则:(1)d[u(x)±v(x)]=du(x)土dv(x)(2)d[u(x)v(x)]=du(x)v(x)+u(x)dv(x)(3)d[cw(x)]-cdu(x)v2(x)5.一阶微分形式不变性-du(x)U2(A)w(x)
7、_Ju(x)v(x)一u(x)dv(x)咻)与复合函数求导法则相对应的微分运算为下lllj的微分形式不变性质:定理设有复合函数，若“=(p(x)在兀点处可微，尸/⑷在对应点"处可微，则复合函数y=f[(p(x)]在点兀处可微，并且dy=fz{u)du因为由复合函数运算法则dy=yxdx=冗•叭山冗伽即dy=y：9du对照dy=y；
8、-du和公式dy=yfxdx说明不论u是白变量还是屮间变量，函数微分的形式是完全一样的,故称为微分形式不变性。6・微分在近似计算中的应用(1)微分进行近似计算的理论依据对于函数y=/(x),若在点Jr。处可导且导数广(兀0)工0,则当
9、心
10、很小时，有函数的增量近似等于函数的微分，即有近似公式=dy・(2)微分进行近似计算的4个近似公式设函数y=/(对在点兀0处可导且导数广(兀0)北0，当
11、心
12、很小时，有近似公式Ay«dy,即.f(勺+Ar)-/(%0)«fxQ)Ar,/Go+Ar)Q/So)+广So)心，令x0+Av=x,贝ij/W«/do)+广So)(x
13、-兀0),特别地，当兀0=0，卜
14、很小时，有f(x)«/(0)+f(0)x.重点难点突破微分和导数一样也是微积分的基本概念，在理解微分的概念时，要注意以下儿点：(1)函数的微分是函数改变量的线性上部由于函数)=/•⑴在点兀处有导数厂⑴，由定义,有恤空*飞)Ar->0心乂由极限与无穷小量的关系，有空=ra)+a其屮a是当"-*0时的无穷小量，因为△xHO,所以△)=/"(x)Ax+a•Ax乂因为lim纟竺=lima=0，所以。是比"高阶的无穷小量。Ax->0Ay山t0fz(x)Ax是Ax的一次函数，因为一次函数的图像是直线，所以也叫线性函数。当厶兀很小且Axf
15、O吋,a-Ax可以忽略不计，所以厂⑴―成为的主要部分，称为线性主部。当厂(x)H0时可以用微分近似代替函数的改变量，即△)WWAx也就是当很小时,dy=f"(%)Ax是的近似值。(2)由以上的分析可知，若函数y=f(x)在点x处可导，可将微分的定义记为dy=f"(a)dx因为白变量尤的改变量△x等于白变量的微分dx,所以把d.y=T(a)△x改写为dy=⑴dx形式，此时也称函数y=/(x)在点x处可微。(3)微分的儿何意义是严广⑴图像上一-点a，.f(x))处切线的纵坐标的改变量。(4)微分运算屮一般用微分运算法则求函数的微分比直接用公式dy=f(x)dx求
16、微分更有规律一些，不易出错，对某些比较复杂的凶数更会
