常考问题4导数的简单应用

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1、常考问题4　导数的简单应用[真题感悟]1．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)．A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析　A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确

2、，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．答案　D2．(2013·浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(

3、xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.答案　C3．(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.解析　∵y′＝k＋，∴y′

4、x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.答案　－14．(2013·江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析　设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)

5、＝＋1，∴f′(1)＝2.答案　25．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．解析　由题意知即解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，则f′(x)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－2－或x＝－2＋，当x<－2－时，f′(x)>0；当－2－0；当x>－2＋时，f′(x)<0，所以当x＝－2－

6、时，f(x)极大值＝16；当x＝－2＋时，f(x)极大值＝16，所以函数f(x)的最大值为16.答案　16[考题分析]题型　选择题、填空题、解答题难度　低档　对导数几何意义的考查中档　考查函数的极值与最值高档　考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值(说明：部分省市要求的低)1．导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x

7、0)．2．基本初等函数的导数公式和运算法则(1)基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xn(n∈R)f′(x)＝nxn－1续表f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝(2)导数的四则运算①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x

8、)v′(x)；③′＝(v(x)≠0)．3．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.4．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，因为f′(x)≥0恒成立，f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．5．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区

9、间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．6．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(