基本不等式的证明.doc

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1、课时3基本不等式的证明【课前自主探究】※考纲链接（1）了解基本不等式及其证明方法；（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；（3）会用分析法、综合法、比较法证明一些简单的不等式．（※教材回归◎基础重现：1．不等式的基本性质：（1）（传递性）；（2）（加法性质）；（3）（同向不等式可加性）；（4）（乘法性质）；（5）（正数同向不等式可乘性）；（6）（乘方性质）；（7）（开方性质）．2．几个重要不等式：（1）；（2）（当仅当a=b时取等号）；（3）如果a，b都是正数，那么（当仅当

2、a=b时取等号）．3．证明不等式的基本方法：（1）比较法：作差比较，；作商比较，　　　　　；（2）综合法：　　　　　；（3）分析法：　　　　　．基础重现答案：1.（1）如果，那么（传递性）；（2）如果，那么（加法性质）；（3）如果，，那么（同向不等式可加性）；（4）当时，；当时，（乘法性质）；（5）如果，，那么（正数同向不等式可乘性）；（6）如果，那么（乘方性质）；（7）如果，那么（开方性质）．2．（1）；（2）（当仅当a=b时取等号）；（3）如果a，b都是正数，那么（当仅当a=b时取等号）．3．(1)根据a－b>0a>b，

3、欲证a>b只需证a－b>0；当b>0时，a>b>1；　　　(2)从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式；　　　(3)从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件．对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径．◎思维升华：1．某大商场，在国庆期间举行商品大酬宾销售活动，准备分两次降价，设计了三种实施方案：（A）第一次8折销售，第二次再7折销售；（B）第一次7折销售，第二次再8折销售；（C）第一次与第二次都折销售．（1）试确定哪一种实施方案最受顾客欢迎？（

4、2）从这里你能得出一个怎样的一般性的数学结论？2．已知都是正数，给出下面两个命题：（1）如果积是定值，那么当时，和的有最小值；（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值．这两个命题是否成立？怎样证明？从这里你能得到怎样的启发？思维升华答案：1．（1）设商品的原价为元/件，则三种实施方案的销售物价分别是：（A）（元/件）；（B）（元/件）；（C）（元/件），故A和B两种实施方案受顾客欢迎．（2）一般地，若令第一次打折销售，第二次打折销售，由上述研究我们可以得到不等式，（当且仅当时取等号），由于，故上不等式可以变形为（，当且仅当

5、时取等号），这表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式称为基本不等式，它在高中数学中有着十分广泛的应用．2．正确，可运用基本不等式证明如下：∵都是正数，∴．（1）当积为定值时，有，即．上式中，当　时取等号，因此，当时，和有最小值．（2）当积为定值时，有，即．上式中，当时取等号，因此，当时，积有最大值．从这里，我们可以认识到：基本不等式（当且仅当　时取等号）可以用来解决某些具有和或积的结构的函数式的最值问题．※基础自测1．（2008·陕西卷改编）“”是“对任意的正数，”的条件．答案：充分不必要条件．2．(20

6、08·河北衡水中学第四次调考改编)若，则下列不等式：①；②；③；④中，正确的不等式有个．答案：3．3．（2010·安徽卷文数）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①；②；③；④；⑤．答案：①，③，⑤．解析：令，排除②②；由，命题①正确；，命题③正确；，命题⑤正确．4．（2010·全国卷1文数改编）设，则的大小关系是．答案：解析：a=2=，b=In2=，而，所以a

7、_____．答案：最大．解析：∵，∴只要比较与的大小就可以了．∵，∴，∴最大．【课堂师生共探】※经典例题○题型一用比较法证明不等式例1已知a，b，c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc．分析：根据不等式的意义，要证明，只要证明就可以了，因此，可用作差比较的方法来证明不等式．解：a3+b3+c3-3abc=[(a+b)3+c3]-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b2+c2-ab-bc-ca]，∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．

8、(c-a)]2≥0，即a3+b3+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c3≥3abc．点评：（1）运用作差比较法证明不等式，一般步骤是：一、作差；二变形；三、定号．其中，“变形”是关键，常用的变形手段有配方、因式分解等，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式．（2）作差比较法也是比较