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1、111.4对面积的曲面积分第十章曲线积分与曲面积分概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法2实例解第一步:将Σ分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:第二步:求和取极限则取所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.光滑的,它的面密度为连续函数求它的质量.对面积的曲面积分一、概念的引入31.定义函数f(x,y,z)在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④对面积的曲面积分二、对面积的曲面积分的定义第i小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意
2、分成n小块4或记为即如曲面是曲面元素被积函数则积分号写成积分曲面称极限为函数对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,对面积的曲面积分52.存在条件在光滑曲面Σ上今后,假定的曲面积分存在.对面积连续,对面积的曲面积分3.对面积的曲面积分的性质6补充：第一类面积分对称性设分片光滑的x的奇函数x的偶函数其中则曲面Σ关于yOz面对称,对面积的曲面积分74.对面积的曲面积分的几何意义空间曲面Σ的面积:5.对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数的质量M为:对面积的曲面积分8则按照曲面的不同情况分为以下三种：思想是:化为二重积分计算.(1)对面积的曲面积分三、对面积的曲面积分的计算
3、法9则则(2)(3)对面积的曲面积分10确定投影域并写出然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据化为二曲面Σ选好投影面,曲面Σ的方程,重积分进行计算.对面积的曲面积分11例解投影域:所截得的部分.故对面积的曲面积分二重积分的对称性对称性12解依对称性知例抛物面有?对面积的曲面积分被积函数为第一卦限部分曲面.13极坐标投影域：对面积的曲面积分积分曲面14例所围成的空间立体的表面.对面积的曲面积分15解投影域对面积的曲面积分例所围成的空间立体的表面.对称性16(左右两片投影相同)将投影域选在注分成左、右两片对面积的曲面积分对称性17计算
4、曲面积分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ记上半球面为下半球面为不是单值的.的值.练习对面积的曲面积分18对上半球得对下半球Σ是球面对面积的曲面积分19所以极坐标对面积的曲面积分20计算其中Σ为球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解练习上方的部分.对面积的曲面积分21Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函数，x2y是y的奇函数.关于yOz面及xOz面对称;对面积的曲面积分22例解积分曲面方程轮换对称提示即三个变量轮换位置方程不变.具有轮换对称性,中的变量x、y、z对面积的曲面积分231995年研究生考题,计算,6分解积分曲面Σ在xOy面上的投影域对面积的曲
5、面积分练习▲24积分曲面对面积的曲面积分▲25对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分四、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程三种形式的计算公式26思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是对面积的曲面积分因为若Ω为直线上的区间[a,b],则故▲27思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题对面积的曲面积分是若Ω是平面区域G,则故▲28思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲
6、面积分可统一表示为是非题对面积的曲面积分是若Ω是空间区域,则故▲29思考题定积分、二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为是非题是若Ω为平面(空间)曲线L,则对面积的曲面积分部分和式的极限为曲线积分▲
