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1、数值分析非线性方程的牛顿法(NewtonMethodofNonlinearEquations)内容提纲（Outline)牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重复上述过程作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化牛顿法的几何意义xyx*x0x1x2牛顿法也称为切线法（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初始值，Newton法产生的序列{xk}
2、收敛到x*，且满足至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度在x*的附近收敛由Taylor展开：令k，由f(x*)0，即可得结论。证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法思考题1若 ，Newton法是否仍收敛？设x*是f的m重根，则令：且Answer1:有局部收敛性Answer2:线性收敛思考题2当x*是f(x)=0的m重根,是否平方收敛？注：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x0有根根唯一全局收敛性定理(定理4.7)：设f(x)C2[a,b]，若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f(x)0；f(x)在[a
3、,b]上不变号选取初始值x0[a,b]使得f(x0)f(x0)>0；则由Newton法产生的序列{xk}单调地收敛到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列{xk}单调有界保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极限，得证明：以为例证明说明数列{xk}有下界故{xk}单调递减,从而{xk}收敛.令？三、计算实例及其程序演示辅助工具:VC程序设计语言Matlab数学软件(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)计算步骤(2)按公式迭代得新的近似值xk+1(3
4、)对于给定的允许精度，如果则终止迭代，取;否则k=k+1，再转步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息例题1用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,计算如下：对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401例题2求函数的正实根精度要求：从图形中我们可以看出：在x=7和x=8之间有一单根；在x=1和x=2之间有一重根。用Ma
5、tlab画图，查看根的分布情形初值x0＝8.0时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981小结(1)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。(2)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。(3)Newton法在区间[a,b]上的收敛性依赖于初值x0的
6、选取。改进与推广/*improvementandgeneralization*/重根/*multipleroot*/加速收敛法：Q1:若 ，Newton’sMethod是否仍收敛？设x*是f的n重根，则：且。因为Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代，其中，则A1:有局部收敛性，但重数n越高，收敛越慢。Q2:如何加速重根的收敛？A2:将求f的重根转化为求另一函数的单根。令 ，则f的重根=的单根。正割法/*SecantMethod*/：Newton’sMethod一步要计算f和f’，相当于2个函数值，比较费时。现用f的值近似
7、f’，可少算一个函数值。x0x1切线/*tangentline*/割线/*secantline*/切线斜率割线斜率需要2个初值x0和x1。收敛比Newton’sMethod慢，且对初值要求同样高。下山法/*DescentMethod*/——Newton’sMethod局部微调：原理：若由xk得到的xk+1不能使
8、f
9、减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。xkxk+1注：=1时就是Newton’sMethod公式。当=1代入效果不好时，将减半计算。Algorithm:Newton’sDescentMethodFindasolutiontof
10、(x)=0givenaninitial
