数值分析-,(牛顿法,弦截法).ppt

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1、7.4-7.5牛顿法及其推广/*NewtonMethod*/一、牛顿迭代法的公式二、牛顿迭代法的改进与推广原理：将非线性方程线性化——泰勒展开/*Taylor’sexpansion*/取x0x*，将f(x*)在x0做一阶泰勒展开:在x0和x*之间。将(x*x0)2看成高阶小量，则有：一、牛顿迭代法的公式线性/*linear*/xyx*x0只要每一步迭代都有f’(xk)0，而且，则x*就是f的根。牛顿迭代法的基本思想将非线性方程f(x)=0的求根问题归结为计算一系列线性方程的求根问题。牛顿迭代法的计算步骤(1)给出初始近似根x0及精度ε；(3)若，转向(4)，否

2、则，转向(2);(4)输出满足精度的根x1，结束。(2)计算例用牛顿迭代法求方程在x=0.5附近的根。取解其牛顿迭代公式为取初值x0=0.5，迭代结果见下表易见故k0123xk0.50.571020.567160.56714k0123xk0.8800000.8846880.8846750.884675例2计算的近似值,=10-6x0=0.88解：令x=问题转化为求f(x)=x2-0.78265=0的正根由牛顿迭代公式xk+1=xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)=xk/2+0.78265/2xk迭代结果满足了精度要求,故≈0.884675设fC2[a,b]，若x*为f(

3、x)在[a,b]上的根，且f’(x*)0，则存在x*的邻域定理（局部收敛性）Newton’sMethod产生的序列{xk}收敛到x*，且满足使得任取初值Newton’sMethod有，只要就有p2。重根是线性收敛的。证明：Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭代，其中收敛则由泰勒展开：在单根/*simpleroot*/附近收敛快只要f’(x*)0，则令可得结论。注：Newton’sMethod收敛性依赖于x0的选取。x*x0x0x0注(1)牛顿法要求初值充分接近根以保证局部收敛性。(2)牛顿迭代法的主要优点是收敛较快，是平方收敛的缺点是公

4、式中需要求f(x)的导数。若f(x)比较复杂，则使用牛顿公式就大为不便。。重根/*multipleroot*/加速收敛法：问题1:若　　　，Newton’sMethod是否仍收敛？设x*是f的n重根，则：因为Newton’sMethod事实上是一种特殊的不动点迭，其中二、牛顿迭代法的改进与推广/*improvementandgeneralization*/且K1:有局部收敛性，但重数n越高，收敛越慢。则问题2:如何加速重根的收敛？K2:将求f的重根转化为求另一函数的单根。?令则f的重根=的单根。下山法/*DescentMethod*/——Newton’sMeth

5、od局部微调：原理：若由xk得到的xk+1不能使

6、f

7、减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得xkxk+1注：=1时就是Newton’sMethod公式。当=1代入效果不好时，将减半计算。。弦截法/*SecantMethod*/Newton’sMethod一步要计算f和f’，相当于2个函数值，比较费时。现用f的值近似f’，可少算一个函数值。x0x1切线/*tangentline*/割线/*secantline*/切线斜率割线斜率需要2个初值x0和x1。收敛比Newton’sMethod慢，且对初值要求同样高。弦截法与牛顿法相比较相同之处：都是线性化方

8、法不同之处：牛顿法在计算xk+1时只用到前一步的值xk，故这种方法称为单点迭代法。而弦截法在求xk+1时要用到前两步的值xk和xk-1，因此这种方法称为多点迭代法。有关弦截法的收敛速度与牛顿法相比，弦截法的收敛速度也是比较快的。可以证明，弦截法具有超线性收敛速度，收敛阶为即例用弦截法求方程在x=0.5附近的根。取解取x0=0.5，x1=0.6作为初始近似根，令其弦截法迭代公式为迭代结果见下表k01234xk0.50.60.567540.567150.56714易见故取初值x0=0.5，牛顿迭代结果见下表k0123xk0.50.571020.567160.56714抛

9、物线法本质：将非线性方程转化为一元二次方程的求解。有两种转化方法！作业：习题7，12，13此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！