数值分析2.2-2__方程求根(牛顿法和弦截法).ppt

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1、《科学计算方法》1.Newton迭代格式2.Newton迭代法的收敛性3.弦截法初值:x1=1.5迭代格式:xn+1=0.5(xn+2/xn)(n=1,2,·····)平方根算法求xnError1.4166666666666672.45e-0031.4142156862745102.12e-0061.4142135623746901.59e-0121.4142135623730952.22e-0161.4142135623730952.22e-016设x*是方程f(x)=0的根,x0是x*的近似值.在x0附近,对函数做局部线性化x1比x0更接近于x*x0x1x*令f(x)=0(n=0

2、,1,2,·····)牛顿迭代格式给定初值x0,迭代产生数列x0,x1,x2,·········,xn,·······应用——求正数平方根算法设C>0,x2–C=0令f(x)=x2–C,则由此可知,平方根迭代具有2阶收敛速度牛顿迭代法误差分析：Newton迭代法的局部收敛性定理3设f(x)在点x*的某邻域内具有二阶连续导数,且设f(x*)=0,f’(x*)≠0,则对充分靠近点x*的初值x0,Newton迭代法至少平方收敛.所以,Newton迭代法至少平方收敛（利用收敛定理）例4.求f(x)=xex–1=0在x0=0.5附近的根解:迭代格式为(n=0,1,·····)f=inline('x*e

3、xp(x)-1');f1=inline('(x+1)*exp(x)');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=x0-f(x0)/f1(x0);er=abs(x-x0)x0=x;k=k+1endx=0.5671k=6er=4.3596e-009牛顿法的缺陷：1.被零除错误2.程序死循环y=arctanx例如方程:f(x)=x3–3x+2=0在重根x*=1附近,f’(x)近似为零对f(x)=arctanx存在x0,Newton迭代法陷入死循环Newton迭代法陷入死循环的另一个例子(p.72例5)取x0=0,(n=0,1,·····)f’<0,f”>0f’>0,f”>0

4、f’>0,f”<0f’<0,f”<0牛顿迭代法收敛的四种情况定理4:若函数f(x)在[a，b]上满足条件则方程f(x)=0在[a，b]上有唯一根x*，且由初值x0按牛顿迭代公式求得的序列{xn}二阶收敛于x*。（1）f(a)f(b)<0；（2）f’(x)，f”(x)在[a，b]上连续且不变号（恒为正或恒为负）；（3）取x0∈[a，b]使得f(x0)f”(x0)>0。(n=0,1,2,·····)弦截法迭代格式给定初值x0,迭代产生数列x0,x1,x2,·········,xn,·······弦截法xn+1实际上是曲线上两点(xn,f(xn))和(xn-1,f(xn-1))确定的一条割线与x轴交

5、点的横坐标.几何意义：练习题:请证明其几何意义.