Lecture-3：Newton迭代法和弦截法.ppt

《Lecture-3：Newton迭代法和弦截法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、NonlinearEquationsNumericalMethodsNewton’sMethodExtendtangentlinefromcurrentapproximation[xi,f(xi)]towhereitcrossesthexaxis[xi,f(xi)]Newton’sMethodTheorem1.5Assumethatandthereexistsanumber,wheref(p)=0.If,thenthereexistsasuchthatthesequencedefinebytheiterationwillconvergeto

2、pforanyinitialapproximation.Newton’sMethod证明由于g’(x)连续，且thenforanygivennumberkin(0,1),thereexistsasuchthatforall.Newton’sMethod此时，g(x)是上的压缩映射。根据压缩映射定理对于任意选定的初值，迭代序列收敛于g(x)的不动点p.Newton’sMethodCorollary1.2AssumethatA>0isarealnumberandletbeaninitialapproximationto.Definetheseq

3、uenceusingtherecursiveruleThenthesequenceconvergesto.thatisNewton’sIterationforFindingSquareRoots证明可以看出，序列是Newton迭代序列。以下证明序列收敛于。Newton’sIterationforFindingSquareRootsSpeedofConvergenceDefinitionAssumethatconvergestopandsetfor.Iftwopositiveconstantsandexist,andthenthesequen

4、ceissaidtoconvergetopwithorderofconvergenceR.ThenumberAiscalledtheasymptoticerrorconstant.IfR=1,theconvergenceiscalledlinear.IfR=2,theconvergenceiscalledquadratic.SpeedofConvergence说明等价于在直角坐标系下，点逐渐接近直线用最小二乘法可以求出-R和-lnA，继而求出R、A。SpeedofConvergenceK=1时，则额外要求

5、g’(p)

6、<1。Converge

7、nceRateforNewton-RaphsonIterationTheoremAssumethattheNewton-Raphsoniterationproducesasequencethatconvergestotherootpofthefunctionf(x).Ifpisasimpleroot,convergenceisquadraticandfornsufficientlylargeIfpismultiplerootoforderM,convergenceislinearandfornsufficientlylargeConverg

8、enceRateforNewton-RaphsonIteration证明Ifpisasimpleroot，byTaylorformula,当n充分大时，由于收敛于p,。ConvergenceRateforNewton-RaphsonIteration证明IfpisamultiplerootoforderM,Let其中h连续可微，且，。ConvergenceRateforNewton-RaphsonIterationAcceleratedConvergenceFormultipleroot，Newtoniterationconvergesli

9、nearly.如何加速？方法1：证明：AcceleratedConvergenceFormultipleroot，Newtoniterationconvergeslinearly.如何加速？方法2：化多重零点为单根对函数采用Newton迭代SecantMethodSecantMethod割线斜率的两种计算方法：于是SecantMethodSummary1、牛顿迭代法和弦截法都是局部的方法，要求选择初值充分接近方程的根。2、对于单根，牛顿迭代法是二阶收敛。3、弦截法的迭代收敛速度为1.618.4、牛顿迭代法每次迭代需要计算两次函数值，而弦截法

10、仅需计算一次函数值。两次迭代可以产生更好的结果：1.618*1.618>25、在程序设计中如何控制迭代的循环？选择一个最大的迭代次数函数值充分小（小于epsilon）相邻迭代差充