Newton迭代法收敛性

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1、
第29卷
第3期华侨大学学报(自然科学版)Vol.29
No.3

2008年7月JournalofHuaqiaoUniversity(NaturalScience)
Jul.2008

文章编号:
1000
5013(2008)03
0464
04Newton迭代法收敛性陈恒新(华侨大学数学科学学院,福建泉州362021)摘要:
给出一种新的,具有较大收敛域的Newton迭代法和Newton下山法收敛性定理,以及误差估计式.它不要求函数f(x)存在二阶导数,只需要函数f(x)存在一阶导数,便可根据文中定理对其收敛性进行

2、判别,弥补了以往相关定理的不足,并通过数值例子给予验证关键词:
Newton迭代法;Newton下山法;收敛性;判别定理中图分类号:
O241.6文献标识码:
Af(xk)用Newton迭代法xk+1=xk-,k=0,1,2,,求方程f(x)=0的根是一种行之有效的算法.f(xk)[1]但一般情况下,Newton法只具有局部收敛性,即它对初值取法较为苛刻.文[2]给出了在[a,b]区间上的一种Newton迭代法收敛定理该定理不仅要求函数f(x)在区间[a,b]上有二阶导数,且要求其二阶导数f!(x)在[a,b]上不变

3、号,这在实际应用中有很大的不便.如果遇到函数f(x)的二阶导数不存[3
5]在,或f!(x)在[a,b]上变号,则该定理便不能使用.为此,本文提出一种新的Newton迭代法收敛性定理,以及相应的Newton下山法收敛性定理.1
定理证明定理1
设函数f(x)在有限区间[a,b]上存在一阶导数且满足如下3个条件.(∀)f(a)f(b)<0.(#)存在正数m,M,其中m∃M,且2m>M,使(a)0

4、[a,b]且f()∃0,f()∋0(对(b)为f()∋222x0+b0,f()∃0)的初始近似值x0.由Newton迭代式产生的迭代序列{xk}收敛于方程f(x)=0在[a,2**Mk*Mkb]上的唯一解x,并且有误差估计式

5、xk-x

6、∃(-1)

7、x0-x

8、∃(-1)(b-a).为说明定理1mm的初值条件(&)对初值x0的要求并不苛刻,有如下引理****引理
当x∃(a+b)/2,定理1的初值条件(&)等价于a∃x0∃x+(x-a);或当x∋(a+**b)/2,x-(b-x)∃x0∃b.证明
由于情况(b)可化为情况(a

9、)(详见定理1证明过程),所以仅证明情况(a)由定理1条件x0+ax0+bx0+a*x0+b*(∀),(#)可知,初值条件(&)中f()∃0,f()∋0等价于∃x,∋x,即2222****x-(b-x)∃x0∃x+(x-a),(1)*******又因为a∃x0∃b,则当x∋(a+b)/2时,有x-a∋b-x,从而有x+(x-a)∋x+(b-x)=*******b,x-(b-x)∋x-(x-a)=a.即式(1)可写为x-(b-x)∃x0∃b.当x∃(b+a)/2时,有**********x-a∃b-x,从而有x-(b-x)

10、∃x-(x-a)=a,x+(x-a)∃x+(b-x)=b.即式(1)
收稿日期:
2007
11
26
作者简介:
陈恒新(1956
),男,副教授,主要从事数值代数和矩阵计算的研究.E
mail:chenhx@hqu.edu.cn.
基金项目:
福建省自然科学基金计划资助项目(S0650018,2006J0212)第3期















陈恒新:Newton迭代法收敛性465*****可写为a∃x0∃x+(x-a).即当x∃(a+b)/2,定理1的初值条件(&)等价于a∃x0∃x+(x-***a);或当x∋

11、(a+b)/2,x-(b-x)∃x0∃b.可见在定理1初值条件(&)下,初值x0的选取范围仍是很广泛的、也就是说,满足条件(&)的x0是很容易在[a,b]中取得的,详见文中数值例子.定理1证明
由于对情况(b)只要令F(x)=-f(x),则由-M∃f(x)∃-m<0便有0

12、a)便可.22已知函数f(x)在[a,b]上连续,由条件(∀)知f(x)在[a,b]上的根存在,又由条件(#)知f(x)在*[a,b]上是严格递增的.因此,f(x)=0在[a,b]上的根x存在且唯一.x0+a*x0+b**首先,由条件(∀),(#)可知,对任意满足(&)的初值x0有∃x,∋x,即a∃2x