牛顿迭代法（牛顿-拉夫森)数值分析

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1、牛顿迭代法一、牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。二、迭代公式用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设，对在点作泰勒展开：略去二次项，得到的线性近似式：。由此得到方程0的近似根(假定0)，即可构造出迭代格式(假定0)：公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{}收敛于，则就是非线性方程的根。2、

2、牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于的线性化近似函数＝是曲线＝过点的切线而得名的，求的零点代之以求的零点，即切线与轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由得到，从几何图形上看，就是过点作函数的切线，切线与轴的交点就是，所以有，整理后也能得出牛顿迭代公式：。3、要保证迭代法收敛，不管非线性方程0的形式如何，总可以构造：作为方程求解的迭代函数。因为：而且在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：若0(即根不是0的重根)，则由得：，因此可令，则也可以得出迭代公式：。4、迭代法的基本思想是将方程改写成等价的

3、迭代形式，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程，其加速公式具有形式：，其中记，上面两式可以合并写成：这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：。需要注意的是，由于是的估计值，若取，则实际上便是的估计值。假设，则可以用代替上式中的，就可得到牛顿法的迭代公式：。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。三、算法描述用Newton法求方程f（x）=0的一个解输入初始值x0；误差容限TOL；最大迭代次数m输出近似解p或失败信息Step1Step2对i=1，2，...，m做

4、setp3~4Setp3Setp4若，则输出（p），停机，否则Setp5输出失败信息；停机注：在第4步中的迭代终止准则可用：四、C语言代码求一元四次方程的解doublefunc(doublex)//函数{　　returnx*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;　　}　　doublefunc1(doublex)//导函数　　{　　return4*x*x*x-9*x*x+3*x;　　}　　intNewton(double*x,doubleprecision,intmaxcyc)//初始值，精度，迭代次数　　{　　doublex1,x0;　　intk;　　x0=*x

5、;　　for(k=0;k

6、

7、fabs(func(x1))

8、/达到迭代次数，仍没有达到精度　　return0;　　}　　intmain()　　{　　doublex,precision;　　intmaxcyc;　　printf("输入初始迭代值x0:");　　scanf("%lf",&x);　　printf("输入最大迭代次数:");　　scanf("%d",&maxcyc);　　printf("迭代要求的精度:");　　scanf("%lf",&precision);　　if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1)//若函数返回值为1　　printf("该值附近的根为:%lf",x);　　else//若函数

9、返回值为0　　printf("迭代失败!");　　getch();　　return0;　　}五、二元函数的牛顿迭代法设z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h，y0+k）为此邻域内任意一点，则有其中于是方程f（x，y)=0可近似表示为即同理，设z=g（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h，y0+k）为此邻域内任意一点，则同样有其中于是方程g（x，y)=0可近似表示为即于是得到方程组：求解这个方程组：当时雅可比行列