复数的几何表示.ppt

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1、第二节复数的几何表示第一章一、复数的几何表示二、模和辐角一、复数的几何表示1.用复平面上的点表示复数(2,2)z=2+2i(虚轴)(实轴)注意：复数z，点z，向量z可视为同一个概念。2.用复平面上的向量表示复数向量与复数一一对应，故用它表示复数.yxOxyz与z在复平面上关于实轴对称.容易看出，二、复数的模和幅角记作复数z的模：向量的长度，注意:向量的方向角.yxOxy2)0的模为零，0的辐角不确定.记作满足的那个幅角.记作复数z的辐角：3)复数z的幅角主值:于是幅角与幅角主值的关系yOxy幅角主值的计算:若z在第一、四象限；若z在第二

2、、三象限；若若xy例1求的模和幅角：由于z位于第二象限，解(1)模为解xy由于z位于第三象限，两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，例2证明复平面上的三角不等式证例3求下列在复平面上所表示的曲线:解-i化简后得2i-2利用直角坐标与极坐标的关系则z也可以表示成再利用欧拉公式三、复数的三角表示和指数表示Oxy则z也可以表示成复数的三角表示式复数的指数表示式解xy复数的三角表示式为复数的指数表示式为习惯上取主辐角例4例5将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为指数表示式为1.复数的模、辐角、幅角主值;2.复数的各种表示法.

3、内容小结各种表示法可相互转化,1.是否任意复数都有辐角?思考题它的模为零而辐角不确定.作业习题一:1(2)(4)、2、4(1)(6)7,8(3)(4)(5)例4解所以它的复数形式的参数方程为(复方程)1-12-2(1)1-1(2)例5求下列复方程所表示的曲线:代入复方程得*二、复球面1.南极、北极的定义球面上的点，除去北极N外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作∞.因而球面上的北极N就是复数无穷大∞的几何表示.球面上的每一个点都有唯一

4、的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义3.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数∞来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义，它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．