张伟强化班线性代数讲义.pdf

《张伟强化班线性代数讲义.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、线性代数六大类考点一：行列式二：矩阵三：向量四：方程组五：特征值和特征向量六：二次型第一讲行列式行列式部分重要考查知识点行列式的定义行列式按行（列）展开行列式的性质行列式的计算证明

2、A

3、＝0行列式的应用行列式的定义二阶与三阶行列式行列式定义行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开定理行列式的性质经转置以后行列式的值不变。某行有公因数k，可把k提取到行列式之外。两行互换，行列式变号。某行的k倍加至另外一行，行列式的值不变。某行的所有元素都可以写成两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和。数值型行列式的重要公式与结论上（下）三角行列式拉普拉斯展开

4、式范德蒙行列式abcda2b2c2d2例1.1.a3b3c3d3bcdacdabdabc1a00b110ab022例1.20ba033b00a44例1.3x2x1x2x32x22x12x22x3设f(x),则方程f(x)0的根的个数为3x33x24x53x54x4x35x74x3axaaa1234xx00例1.40xx000xx11111200例1.510301004cba0001a例1.6010b100cxaaaaxaa例1.7aaxaaaax2ax

5、aaa123naaxaa123n例1.8aaaxa123naaaax123n1a00101a02例1.9.000an1a001n2a1a22a1a22a1例1.10设A是n阶矩阵,证明:An1an.a22a1a22a-21-1例1.11若1-410，则-11-2-3-9-6例1.12若-1-3-20，则-2-6-4抽象型行列式的计算重要公式（1）A是n阶矩阵，则

6、kA

7、=kn

8、A

9、（2）若A、B均为n阶矩阵，则

10、AB︱=

11、

12、A

13、

14、B

15、（3）若A是n阶矩阵，则

16、A*

17、=

18、A

19、n-1（4）若A是n阶可逆矩阵,则

20、A-1

21、=

22、A

23、-1（5）若λ1,λ2,……λn是矩阵A的n个特征值，则

24、A

25、=λ1λ2……λn.（6）若A~B，则

26、A

27、=

28、B

29、3例1.13,,,,为4维列向量，A,,,4,B,,,3,123123123则A2B.210例1.14设矩阵A＝120，矩阵B满足ABA*2BA*E,001其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B例1.15已知A为4阶矩阵,3EA、、E、A2E均不可逆,且A的主

30、对角线元素之和为4,求A.例1.16已知A为3阶矩阵,A、、E、A2E均不可逆,AT是A的转置矩阵,则(A3E)T(3EA)1(9EA2)例1.17设A为3阶矩阵，，，为线性无关的3维列向量，且A，123112A，A，则A223331例1.18设，，为3维列向量，A(,,),123123B(,24,39)已知A1，则B123123123代数余子式（1）代数余子式的定义（2）代数余子式的性质23541111例1.19A(1)第3行元素代数余子

31、式的和(2)第4行元素余子式的和357240364例1.20证明A0(1)Ax0有非零解(2)反证法，利用A1找矛盾(3)r(A)n(4)零是A的特征值(5)AA例1.21已知A为n阶矩阵，满足A2A，且AE证明：A0例1.22设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且mn.证明：AB0行列式的应用克莱姆法则第二讲矩阵部分主要考察知识点矩阵运算伴随矩阵可逆矩阵初等矩阵矩阵方程矩阵的秩矩阵的运算加法运算数乘运算乘法运算矩阵的幂的运算51）r(A)10ab0002）A00c或a00000bc0

32、3）P1APB04）A0C426例2.1A213，求An639000例2.2A200，求A2,A3,An340123例2.3A014，求An.001201100例2.4已知A030，B010若X满足AX2BBA2X，202000则X4010例2.5已知A100，BP1AP，则B20042A200161例2.6设A1111,BP1AP,P为3阶可逆矩阵

33、,则(BE)2012.2211例2.7设A121，求An.1121200036000例