新东方2011年考研数学强化班线性代数讲义（全）

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1、新东方在线[www.koolearn.com]2011考研数学网络课堂电子教材系列线性代数2011考研强化班线性代数讲义主讲：尤承业欢迎使用新东方在线电子教材第一讲基本概念强化班的讲法线性代数是概念性很强的课，考试能不能得好成绩就看概念是不是很熟悉，会不会用理论知识解题.因此即使在强化阶段也应该把加深对概念的理解放在重要位置.我们在线的强化阶段也要复习概念,但是和基础班有所不同,主要是体现在更加侧重于“怎样用理论知识解题”这方面.强化阶段会讲更多的题.在安排上,题目的讲解也不再象基础阶段那样穿插在讲解理论中间,每一讲的题目都集中到一起,这样可更加便于互相对照,突出解题思路.一.关

2、于矩阵和向量的几个问题1.行向量与列向量问题:和是不是一样?,即.通常,作为线性方程组的解,特征向量时记作列向量.2．n阶矩阵问题：下列矩阵都是什么矩阵?新东方在线[www.koolearn.com]2011考研数学网络课堂电子教材系列线性代数对角矩阵:.上三角矩阵:.对称矩阵:.3.阶梯形矩阵一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它既有零行,又有非零行,则零行都在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.（即非零行左边的0的个数自上而下严格单调上升.）讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A)A是上三角矩阵ÞA是阶梯形矩阵.(B)A

3、是上三角矩阵ÜA是阶梯形矩阵.(C)A是上三角矩阵ÛA是阶梯形矩阵.(D)A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.讨论题2.下列命题中哪几个成立?(1)如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2)如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3)如果(A

4、B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4)如果(A

5、B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5)如果是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.新东方在线[www.koolearn.com]2011考研数学网络课堂电子教材系列线性代数简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置

6、称为台角.简单阶梯形矩阵是特殊的阶梯形矩阵,它还满足:③台角位置的元素为1.④台角正上方的元素都为0.二.矩阵的初等行变换和线性方程组的矩阵消元法1.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有3类:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.例1请注意:①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.1.线性方程组的基本问题线性方程组的一般

7、形式为:其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.新东方在线[www.koolearn.com]2011考研数学网络课堂电子教材系列线性代数对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组:b1=b2=…=bm=0的线性方程组.0,0,…,0总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).称矩阵和为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.3.线性方

8、程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论接的情况和求解.例:设一个方程组的增广矩阵为(A

9、b)，他可用初等行变换化为则得到原方程组的同解方程组此时方程组有唯一解.新东方在线[www.koolearn.com]2011考研数学网络课堂电子教材系列线性代数如果此时方程组有无穷多解.如果此时方程组无解.矩阵消元法步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(

10、A

11、b),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B

12、g).(2)用(B

13、g)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0,¼,0

14、d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r

15、g)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0

16、g0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E

17、h),则h就是解.(c1,c2,…,cn)就是解.(A

18、b)®(B

19、g)¯(B0

20、g0)®(E

21、h),h就是解.新东方