张伟概率讲义

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1、学府考研培训学校·20132013年强化班讲义年强化班讲义·【概率统计部分】主讲：张伟学府考研培训学校2012年7月www.exuefu.com0概率论与数理统计概率论和数理统计六大类考点(1)随机事件和概率(2)一维随机变量及其分布(3)多维随机变量及其分布(4)随机变量的数字特征(5)大数定律和中心极限定理(6)数理统计的基本概念、参数估计和假设检验第一讲随机事件和概率随机事件和概率部分主要考点(1)随机事件的关系与运算(2)古典型概率与几何型概率(3)概率与条件概率的性质与基本公式(4)事件的独立性与独立重复试验随机事件之间的关系与运算例1从一批产品中每次一件抽取三次,用Ai(i=1

2、,2,3)表示事件:"第i次抽取到的是正品".试用文字叙述下列事件:(1)A1A2∪A2A3∪A1A3;(2)A1A2A3;(3)A1∪A2∪A3;(4)A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3再用表示下列事件:(5)都取到正品;(6)至少有一件次品;(7)只有一件次品;(8)取到次品不多于一件例2A,B为任意两事件,则事件(A−B)∪(B−C)等于事件(A)A−C(B)A∪(B−C)(C)(A−B)−C(D)(A∪B)−BC例3设事件A和B满足条件AB=AB,则(A)A∪B=φ.(B)A∪B=Ω.(C)A∪B=A.(D)A∪B=B.古典型概率与几何型概率例4从5双不同的鞋中任取4只,求这

3、4只鞋中至少有两只能配成一双的概率.1例5已知10件产品中有3件次品,现从中任意取出两件产品,求下列事件的概率(1)第一次取到次品的概率p1;(2)第二次取到次品的概率p2;(3)第二次才取到次品的概率p3;(4)取出两件产品中至少有一件是次品的概率p4;(5)已知取出两件产品中有一件是次品,则另一件也是次品的概率p5;(6)已知取出两件产品中第一件是次品,则第二件也是次品的概率p6.例6⎧2⎫随机地向半圆⎨(x,y)

4、00,是常数)内掷一点,则原点和⎩⎭π该点的连线与x轴的夹角小于的概率为.4例71在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的

5、概率为.2概率与条件概率(1)基本性质(2)重要公式例8设事件A,B同时发生时,事件C一定发生,则(A)P(C)≤P(A)+P(B)−1.(B)P(C)≥P(A)+P(B)−1.(C)P(C)=P(AB).(D)P(C)=P(A∪B).例91随机事件A,B,满足P(A)=P(B)=和P(A∪B)=1,则有2(A)A∪B=Ω(B)AB=φ(C)P(A∪B)=1(D)P(A−B)=0例10已知P(A∪B)=0.6,P(B

6、A)=0.2,则P(A)=.2例1134设X,Y为随机变量,且P(X≥0,Y≥0)=,P(X≥0)=P(Y≥0)=,试求下列事件的概率:77A={max(X,Y)≥0};B=

7、{max(X,Y)<0,min(X,Y)<0};C={max(X,Y)≥0,min(X,Y)<0}.例12从1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,⋯,X中任取一个数,记为Y,则P(X=2)=.例13设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽取的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.例14已知100件产品中有10件正品,90件次品.每次使用正品时肯定不会发生故障,而在每次使用次品时,有10%的可能性发生故障.现从100件产品中随机

8、地抽取一件,若独立使用n次,均未发生故障,则n至少为多大时,才能有70%以上的把握认为该产品为正品.事件的独立性与独立重复试验(1)事件的独立性(2)独立重复试验例15设0

9、A)+P(B

10、A)=1,则必有(A)P(A

11、B)=P(A

12、B)(B)P(A

13、B)≠P(A

14、B)(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)≠P(A)P(B)例16已知A,B,C三事件中A与B相互独立,P(C)=0,则A,B,C三事件(A)相互独立(B)两两独立,但不一定相互独立(C)不一定两两独立(D)一定不两两独立例17对于任意二事件A和B,(A)若AB≠φ,则A,B一

15、定独立.(B)若AB≠φ,则A,B有可能独立.(C)若AB=φ,则A,B一定独立.(D)若AB=φ,则A,B一定不独立.3例18对于任意二事件A和B,已知0