数学解题思想——整体思想.doc

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1、数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子、图形或概念看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。一.整体代入在求代数式的值时,可先将条件或待求式变形,再整体代入求值,使问题化难为易。例1已知a是方程的一个根,求代数式的值。分析:由a是方程的一个根,得,则,,再整体带入即可。二.整体设元在解决某些比较复杂的式子时,也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换,使问题化繁为简,巧妙获解。例2阅读材料:求的值。解:设S=,则2S=,两式相减得2S-S=,即S=;故=。请你仿照

2、此方法计算:(1);(2)(其中n为正整数)。分析:(1)仿照阅读材料,设S=,两边乘以3后得到关系式3S=,再与已知等式相减,得2S=,即可求出所求式子的值;(2)设S=,两边乘以3后得到关系式5S=,再与已知等式相减,得4S=,即可求出所求式子的值;三.整体构造就是对已知条件和所求联合研究,把问题作为一个整体来构造,从而解决问题。例3甲、乙、丙三种商品,若买甲4件,乙5件、丙2件,共用69元;若买甲5件,乙6件、丙1件,共用84元。问买甲2件,乙3件、丙4件,共需多少钱?分析:如果想先求出甲、乙、丙三种商品的单价后再去求甲2件,乙3件、丙4件共需多少钱,显然是行不通的,因为条件不够,所以

3、应该讲问题作为一个整体来考虑。设甲、乙、丙单价分别为x元、y元、z元,则,(1)×3-(2)×2得2x+3y+4z=39即可。四.整体配凑(化零为整)在解决某些整体问题时,有时无法从各组成部分去分别突破,这时需要考虑将其组成部分化零为整,从而使问题获得解决。例3如图,△ABC中,AB=AC=8,O为△ABC的内心,过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E,则△ADE的周长为多少?分析:连接BO、CO,由O为△ABC的内心,可得BO平分∠ABC,得到∠DBO=∠OBC,由DE∥BC,得到∠DOB=∠OBC,从而∠DBO=∠DOB,于是DO=BD,同理可得OE=CE,即△ADE的周长=AD

4、+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=16.五.整体处理在解决某些问题时,可以把某些东西看成一个整体,从整体角度去分析,这样要比从其他角度去分析方便许多。例4甲、乙两人从相距20千米的两地同时出发,相向而行,甲的速度为6千米/时,乙的速度为4千米/时。一只小狗与甲同时出发向乙奔去,遇到乙后立即掉头向甲跑去,遇到甲后又立即掉过头迎乙......直到两人相遇为止。若小狗的速度是13千米/时,在这奔跑过程中,小狗的总行程是多少千米?分析:我们可以有以下几种思路:(1)逐段计算小狗奔跑的路程;(2)逐段计算小狗奔跑的时间;(3)从题目分析来看,小狗来回奔跑的时间之和,恰等于甲、乙二

5、人从出发到相遇的所需的时间,故小狗奔跑的总时间为2小时,从而轻而易举地得到小狗奔跑的总路程为13×2=26(千米)。练习:1.已知,则的值等于=______________.C1C20yx2.计算:-=___________.3.如图,⊙O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是4.7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示,设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足(  )A.    B.a=3

6、b       C.     D.a=4b5.如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=5,则△PCD的周长为____________.6.已知,AO是△ABC的∠A的平分线,BD⊥AO交AO的延长线于D,点E是BC的中点,求证:7.在一条公路旁,每隔100千米有一个仓库,共有5个仓库,1号仓库有10吨货物,2号仓库有20吨货物,5号仓库存有40吨货物,其它两个仓库空着。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库,如果每吨货物运输一千米需要0.5元的运费,那么运费最少要多少元?

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