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1、第五章不定积分教学安排说明章节题目：5.1不定积分的概念5.2不定积分的性质5.3换元积分法5.4分部积分法学时分配：共6学时。5.1不定积分的概念1学时5.2不定积分的性质1学时5.3换元积分法2学时5.4分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课堂教学方案（一）课程名称：5.1不定积分的概念；5.2不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积
2、分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。教学内容5.1不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。27但是，在科学、技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。定义1如果函数与为定义在某同一区间内的函数,
3、并且处处都有或,则称是的一个原函数.根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如，故是的一个原函数；，故也是的一个原函数；，故是的一个原函数；，故也是的一个原函数.．．．．．． 由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内为的一个原函数，即,则对任意常数,由于,所以函数都是的原函数.这说明如果函数有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内为的一个原函数，那么，的其它原函数和有什么关系？设是在同一区间上的另一个原函数，即，于是有由于导数恒为零的函数必为常数，因此27即这说明的任意两个原函数之间只
4、差一个常数.因此,如果是的一个原函数,则的全体原函数可以表示为(其中为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2函数在某区间内的全体原函数称为在该区间内的不定积分,记为，其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.即.这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数就可以了.例1求的不定积分.解：因为,所以例2求的不定积分.解：因为,所以3.不定积分学的几何意义不定积分的几何意义:若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线.于是,的不定积分在几何上表示27的某一条积分曲
5、线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图４-1),任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线．例3设曲线通过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程．解：设所求的曲线方程为,按题设，曲线上任一点处的切线斜率为说明是的一个原函数.因为的全体原函数为，所以曲线方程为,又由于曲线过点,故,解得,于是所求曲线为.例4一物体作直线运动，速度为路程为3m，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为依
6、题意有所以将一般，若是函数的原函数，那么所表示的曲线称为的一条积分曲线。不定积分在几何上表示由积分曲线沿轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。课堂练习：填空27小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。4.基本积分表及常用的积分公式第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下：（1）(是常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不
7、定积分的运算会起到关键性的作用.以上11个公式是求不定积分的基础，必须熟记。27例5求下列不定积分：（1）（2）（3）解：(1)(2)(3)5.2不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：性质1两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即.证明：根据导数的运算法则，因此是的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为的不定积分.证毕.类似可证明如下性质.性质2不为零的常数因子可以移到积分号前例1求不定积分解：.例2求解：==例3求不定积分.27解：.例4求不定积分.解：.注意：在分项
