教案设计4-不定积分new.doc

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1、第四章不定积分§4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题：已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。“积分”是“微分”的逆运算。一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的概念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间变化的规律为，那么，在任意时刻物体运动的速度为。现在提出相反的问题：例1已知某物体运动的速度随时间变化的规律为，要求该物体运动的路程随时间变化的规律。显然，这个问题就是在关系式中，当为已知时，要求的问题。例2已知曲线上任意点处的

2、切线的斜率为，要求此曲线方程，这个问题就是要根据关系式，求出曲线。从数学的角度来说，这类问题是在关系式中，当函数已知时，求出函数。由此引出原函数的概念。定义4.1:设是定义在某区间I的已知函数，如果存在一个函数，对于每一点，都有：或则称函数为已知函数在区间I的一个原函数。例如，由于，所以在，是的一个原函数；又因为，所以在，是的一个原函数；更进一步，对任意常数，有，所以在，都是的原函数。1、原函数性质（1）如果函数在区间连续，则在区间一定有原函数；（2）若，则对于任意常数，都是的原函数。即如果在上有原函数，则它有无穷多个原函数；（3）若

3、和都是的原函数，则，（为任意常数）。即任意两个原函数只相差一个常数。一、不定积分1、不定积分定义定义4.2:若是在区间的一个原函数，则称(为任意常数)为在区间的不定积分，记为，即。其中：——为积分号，——被积函数，——被积表达式，——积分变量，——积分常数。由不定积分的定义可知，计算一个函数的不定积分时，就归结为“求出被积函数的一个原函数再加上任意的常数”即可。例1计算下列不定积分。（1）；（2）；（3）。解（1）因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知：。（2）因为，所以是的一个原函数，由不定积分的定义知。（3）因为，所以是的一

4、个原函数，由不定积分的定义知。例2求。解：①当时，∵，即是的一个原函数∴②当时，∵，∴两式合并，当时，有：。由上述例题可以看出，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，这个“全体”就体现在任意常数C上,因此,求不定积分时,积分常数不能丢。由于“积分”和“微分”互为逆运算，故检验一个积分结果是否正确，只须对积分结果求导，看他是否等于被积函数。1、不定积分性质由不定积分的定义，有：性质⑴：先积分后微分，两种互逆运算相抵消。；性质⑵：先微分后积分，两种互逆运算抵消后，相差常数。或。由此可见，微分运算与求不定积分的运算是互逆的。例3利用性质求下

5、列不定积分。（1）；（2）。解（1）利用“先积后微，结果等于被积函数”得：（2）利用“先微后积，结果等于被积函数+”得：此处绘图图4-11、不定积分几何意义不定积分的图形是由所表示的无穷多条积分曲线所组成的“积分曲线簇”。（如图5-1所示）每一条积分曲线对应于同一横坐标处的切线互相平行。不定积分几何意义：不定积分表示的一簇积分曲线，而正是积分曲线的切线的斜率。例4求过点，且其切线的斜率为的曲线方程。解：由得：的曲线簇将代入得：∴为过点且其切线的斜率为的曲线方程。由图5-2可以看出：表示无穷多条抛物线，这些抛物线就构成一条关于的积分曲线

6、簇。簇中每一条曲线对应于同一横坐标处有相同的斜率。故对应处，这簇曲线的切线互相平行，任两条曲线的纵坐标之间相差一个常数。故确定一条曲线，其它各曲线便可由沿轴方向上、下移动而得到。§4.2基本积分公式一、基本积分公式（背！）由不定积分的定义，从导数公式可得到相应的积分公式。为了计算方便，下面列出基本积分公式：（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；这些基本积分公式是求不定积分时常用的公式，同学们必须熟练地掌握！二、不定积分运算法则法则⑴：函数代数和的积分等

7、于函数积分的代数和。；推广：法则⑵：被积函数中的常数因子可以移到积分号的外面。（）。现在利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些函数的不定积分。例1计算下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）。解（1）；（2）；（3）。（4）。注意：检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的。一、直接积分法所谓直接积分法，就是利用不定积分的基本积分公式和法则，来求一些简单函数的不定积分。例2计算下列不定积分。（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）；（2）；（3）；（4）。注意：当

8、被积函数不能直接用公式时，需先进行一些恒等变形或拆分，将其化为积分基本公式的形式，再求积分即可。例3计算下列不定积分：（1）；（2）；（3）；解（1）；（利用三角恒等变形：）（2）。（利用三角函数降幂公式：）（3）（利用