14级竞赛辅导教案(不定积分)

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1、竞赛辅导(不定积分)(I)知识要点及方法一、原函数与不定积分概念1.原函数定义：设函数/•(劝在区间/上有定义，若存在可导函数F(x)满足Fx)=/(x)(或dF(x)=/(x)clr称函数F(x)是函数/(兀)在区间I上的一个原函数.2.原函数存在的条件：若/(力在区间/上连续，则/(力在区间/上一定有原函数.注：/(兀)连续是存在原函数的充分条件，不是必要条件，如：/W=!2XSin7_COS7"O'在"0点处不连续，但是用)在区间(YO,+8)内有0,兀=0,r2.1n原函数F(x)=xSin7，心°'0,x=0.■3.原函数性质：若/(劝在区间/上有一个原函数F(x

2、),则F(x)+C是/(兀)在区间/上的所有原函数.4.不定积分定义：函数/(Q在区间/上的所有原函数F(%)+C称为于(兀)在区间/上的不定积分，记作J/(x)ck=F(x)+C・5.不定积分与导数的关系：①先积分再求导(或微分)：[J=/(x),或d[Jf(x)dx]=f(x)dx；②先求导(或微分)再积分：jFx)dx=F(x)+C,或JdF(x)=F(x)+C・6.不定积分的线性性：三、不定积分的方法1.拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个简单积分,从而进行积分.需要掌握一些常用拆项方法与技巧.2.凑微分法：Jf[(p{x)](px)Ax

3、=j/[0(x)]d°(兀)=F[°(兀)]+C・凑微分法主要用来解决复合函数的积分(确切地说是复合函数与中间变暈导数Z积的积分).要熟练常用的几个凑微分式子：(1)jf{ax+b)6x=丄Jf{ax+b)d(or+b)(aH0)；(2)A：""+h)dx=—/(or""+Z?)d(tzx//~l+h)(ajd.H0)；c屮(3)(4)(5)J=J/(Inx)d(lnx)；XJeg)dx二J.g)d(e)f/(arctanx)心_jy(arctan^)ci(arctanx)；(6)1+x2/(arcsinx)^_f/(d!*csinx)d(arcsinx):Vi-x2(7)j/

4、(sinx)cosxdx=j/(sinx)d(sinx)；(8)j/(cosx)sinxdr=-J/(cosx)d(cosx)；(9)j/(tanx)sec2xdx=j/(tanx)d(tanx)；(10)J/(secx)secxtanxdx=j/(secx)d(secx)；对于以上之外的积分通常要考虑用中间变量作换元，进行试解,如积分可考虑的JJl+e"换元有：①ex=t；②1+J③二/等(哪个换元更好，只能通过试解来确定).3.换元积分法：J/(x)dxX=0(0=J/10(r)]fa)dr此换元积分法主要用于解决无理函数的积分，要掌握儿个常用的换元:换元名称被积函数特点具

5、体换元公式换元目的三角换元含有一兀2x=asint去根号化为有理函数或三角函数有理式的积分含有+/x=atant含有x-atantx=asect根式换元根式换元含有町ax+bt=对ax+b八七QX+b含有彳cx+dax+brcx+d倒代换分母幕次比分子幕次相对较高ix=-t降低分母幕次4.分部积分法：Jw(x)v'(x)dr=w(a：)v(x)一jwz(x)v(x)dr；或jw(x)dv(x)=w(x)v(x)一Jv(x)dw(x)・分部积分法主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分.分部积分成败的关键是掌握好i心）与讥兀）的选収，其原则是:①『（兀）好找原函数;②班兀）的导

6、数简单；③积分jwz（x）v（x）d%要比积分"心”⑴血容易一些（至少不难）.要掌握以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型条件u（x）取作vx）取作目的幕函数X三角函数止整数次幕帚函数三角函数降低幕次幕函数X指数函数正整数次幕幕两数指数函数降低幕次幕函数X对数函数实数次幕对数函数幕函数去掉对数函数幕函数X反三角函数实数次幕反三角函数幕函数去掉反三角函数指数函数X三角函数以劝与/（X）任取，用两次分部积分，出现“打回头”三、几类特殊函数的积分要掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理函数设积分方法.有理函数的枳分是通解部分分式方法拆成简单分式的枳分，而三角有理式的枳分是通过三角

7、换元转化为有理函数积分（更多的是通过凑微分直接计算），简单无理函数积分是通过根式代换化为有理函数积分，或通过三角换元化为三角函数有理式的积分.见下表：无理函数积分bx-—=u2d

8、+bx+c)dx严I农（以,J/_/）d以*IR(urJu2+/)dM►IR(lir厶2_么2)血>0；/-=JaF+bx+c三角函数有理式积分

9、^(sinr,cosr)dx•rtan^=/

10、尺sinx)cosxdxsinx=/

11、J^cosx)sinxdxcosx=/(尺tanx)dxtanx=Z(A(sin2x,