竞赛不定积分 课件.ppt

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1、数学竞赛讲座南理工数学系刘德钦学好数学,要记住三个字:.熟,练,化.____华罗庚____解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的,只要经过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模,当你在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。_____乔冶.波利亚____不定积分第一讲注:不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具,为解微分方程服务.一.基本概念1、原函数与不定积分(1)定义:若连续函数一定有原函数．同步:p922.性

2、质和公式:同步:93二.积分法(1)由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.同步93:2、基本积分表是常数)同步:p3741.基本概念题例2函数为的原函数，当时，有且，求.解：因，所以而由得，从而故（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为(2)换元法:第一类换元同步:p95常见类型:第一类换元法凑微分常见类型:二.积分法第二类换元法同步:p95常用代换:第二类换元法(2)设m,n为被积函数的分子,分母关于的最高次数,当时,可用倒代换法.练习:(3)分部积分法选择u的有效方法:(1)----对数函数；被积函数为多项式与对数函数乘积(2)----反三角函数；

3、被积函数为多项式与反三角函数乘积选v----指数函数；被积函数为多项式(或三角函数)与指数函数乘积4.三类函数的积分:同步:p104(2019考研题)三角函数积分题三角函数公式解令例11求复习大全:p85例32称为依分母分解法三个以上乘积因子的积分若用分部,一项为原来的因子,另一项为若干个因子乘积.被积函数为三个因子乘积形式(造一个分子是分母的导数.)有理函数积分:练1练:2000年竞赛例14(97考研题)例1509考研三.几种常见技巧:1.循环现象:Ⅰ2.折项抵消法:注:遇到不可积的积分只能采用折项抵消法方法2待定函数法待定函数法:两边求导4.二项代换法:5.递推法:

4、6.关于绝对值的积分例23设为上的连续偶函数，证明的原函数中恰有一个是奇函数.证：令则∴为奇函数，设也是的一个原函数，且为奇函数，则且，(00年竞赛题)