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时间:2020-03-15
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1、第五章一元函数积分学例1:求不定积分解:被积函数是一个复合函数,它是由和复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将变形为,故有例2:求不定积分解:为了消去根式,利用三解恒等式,可令,则,,因此,由第二换元积分法,所以积分化为由于,所以,,利用直角三角形直接写出,于是例3:求不定积分分析:如果被积函数中没有x或sinx,那么这个积分很容易计算出来,所以可以考虑用分部积分求此不定积分,如果令u=x,那么利用分部积分公式就可以消去x(因为)解令,则,.于是。熟悉分部积分公式以后,没有必要明确的引入符号,而可以像下面那
2、样先凑微分,然后直接用分部积分公式计算:例4:求微分方程的通解。解:原方程为可分离变量的方程,移项分离变量得,两端积分得:,得从而。因为仍然是常数,把它记做C,故原方程的通解为其中C为任意常数例5:求微分方程的通解解:这是一个一阶线性非齐次方程,通解公式为在本题中,由通解公式知=即原方程的通解为:例6:求定积分分析:设函数在区间上连续,是在上的一个原函数,则,这就是牛顿-莱布尼茨公式。解:根据牛顿-莱布尼茨公式,因为是的一个原函数,所以原式有例7:求定积分分析:在应用定积分换元时应注意两点:(1)换元必换限,上限对上
3、限,下限对下限,即如果用把原来的变量换成了新变量t,积分限也必须也必须换成新变量t的积分限,并且原来下限对应的参数做下限,上限对应的参数做上限。(1)求出换元后的原函数后,不必像计算不定积分那样将它还原成x的函数,只需将新变量的上、下限带入相减即可。解为了去掉被积函数中的根式,令,即,于是,并且当x=0时,t=0;当x=8时,t=2,因此由换元公式有==例8:计算定积分分析:定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数,再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的.因此,定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型
4、与不定积分的分部积分法完全一样.解 令,,则.故由分部积分公式得例9 求反常积分分析: 设在或或上连续,定义反常积分 若上述极限存在,则称相应的反常积分收敛,否则称其发散.解 因为 ,所以 这里.极限是型未定式,由洛必达法则易知其极限为0例10 计算由抛物线与,所围阴影图形的面积分析:设函数在区间上连续,并且,则由曲线与以及所围成的图形面积A为解 联立两抛物线方程,得交点,并且由图形可知当时均有,则所求图形面积为第六章多元函数微积分1.基本要求(1)了解
5、多元函数的概念,了解二元函数的几何意义,知道求二元函数的定义域。(2)了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。(3)了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法。2.本章重点难点分析(1)本章重点:二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。(2)本章难点:一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。3.本章典型例题分析例1.求函数的一阶偏导数.解:把y看成常数,对x求导.例2.设求解:根据全微分公式,先求两个偏导数;。所以例3.计算二重积分,其中是由直线及
6、所围成的闭区域.解区域如图所示,可以将它看成一个-型区域,即.所以例4.计算二重积分,其中是有抛物线及所围成的有界闭区域.解:如图,区域可以看成是-型区域,它表示为,所以.一、选择题1、().(A)(B)(C)(D)2、若是的原函数,则().(A)(B)(C)(D)3、若,则().(A)(B)(C)(D)4、().(A)(B)(C)(D)5、()。(A)2arctant(B)(C)(D)二、填空:1、已知的一个原函数为,则=.2、若存在且连续,则.3、若,则=.4、.5、.6、=.7、=.8、已知在上连续,且,且设,
7、则.9、.10、设,则.11、.12、的阶数是.13、的阶数是.四、求不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)求由曲线,直线所围成的图形的面积.(22)求由曲线与直线,围成的平面图形面积.(23),求,.(24),求,.(25),求.(26),求.(27),其中D是由直线及所围成的平面区域.(28),其中D由直线与所围成.(29)其中D由抛物线和直线所围成.(30)解微分方程:.(31)解微分方程:.
8、(32)某厂生产某种商品千件的边际成本为(万元/千件),其固定成本是9800(万元).求(1)产量为多少时能使平均成本最低?(2)最低平均成本是多少?(33)已知某产品的边际成本为(万元/百台),边际收入为(万元/百台)。如果该产品的固定成本为10万元,求:(1)产量为多少时总利润最大?(2)从最大利润产量的基础上再增产200台,总利润会发生什
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