微积分总复习题及答案

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1、第五章一元函数积分学例1：求不定积分Jsin3xdjc解：被积幣数sin3%是一个复合函数，它是由/(w)=sinu和u=0(x)=3x复合而成，因1.此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x变形为sin3x=-sin3x(3%),故有33x=ug(-cosu)+Cjsin3xdx=j—sin3x(3x)dx=—jsin3az/(3x)33u=3x--cos3x+C3例2：求不定积分jyja2-x2dx(a>0)jrjr解：为了消去根式’利用三解恒等式曲+站“可令—汕(巧<,<’则^a1-x2=la2-a2sin21=acost,dx=acosdt,因此，rtl第二换元积分法，所以积

2、分化为^yja2-x2dx=^acostxacostdt=craacosrd/=CTa2~22222dt^—[cosltd(2r)=—r+—sin2r+C=—(r+sinrcosr)+C4J242jrjrx由于x=asin/(——

3、«没有x或sinx,那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x,那么利用分部积分公

4、式就可以消去x(因^4*u-x.dv-sinxdx,贝ijdu-dx,v=-cosx.于是

5、xsinxdx=judv--xcosx+sinx+Co熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号H,v,而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：xsxdx=-xdcosx=-(xcosxcosxdx)=-xcosx+sinx+C例4：求微分方程^-2y=1的通解。dx解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得皑皿，两端积分得：】岛十，得訓2y+忖+G从而1/Ci1-ln

6、2y+l

7、=x+C,y=±—^2v--o严.1因为士——仍然是常数，把它记做C,故原方程的通解为y=Ce2x-

8、-n屮C为任意常数例5：求微分方程^-+-y=x2的通解dxx解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为Q{x^P(x}dxdx^C)2在本题中p(x)=—,Q(兀)=/,由通解公式知Xy=eQ(x)e^，，(x>，l'dx+C)=ex2e^

9、函数，所以原式有3x2dx31I3031==—0333例7：求定积分J：仃分么分析：在应用定积分换元时应注意两点：(1)换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用x=(p(t)把原来的变量换成了新变量I,积分限也必须也必须换成新变量I的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。(1)求出换元后的原函数0(f)后，不必像计算不定积分那样将它还原成x的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。解为了去掉被积函数中的根式，令娠二/,即x=t于是dx=3rdt,并且当x=o时,t=0；当x=8吋，t=2,因此由换元公式有沌(—1+占妙7仇一1)力+［占如1)］22。+吨+%]亠

10、3例8：计算定积分£xe~xdx分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿■莱布尼茨计算定积分是一样的.因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样.解令u-x,dv=e~xdx,则du=clx,v=-ex.故由分部积分公式得xe0~xd(-x)=-e~]-eo=1"i例9求反常积分Lxexdx分析：设/(X)在［d,+8)或(-汽创或(-OO,+8)上连续，定义反常积分ebf(x)dx=limIf(x)dx:“T+8Jaff(x)dx=limff(x)dxJ—ooqt—8Ja1jf(x)dx=j/(x)6tr+£f{x)dx若

11、上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散.解因为chxe^xclx=-xd(e^)=-(xe^xJobeh.f/?-Ie~xdx)=-[be'b+[e~xd(-x)]0JoJo=~(be~h+厂cbb+1b+1所以xexdx=limIxexdx=lim(1一一)=1-lim=1Jo0T4<*>JO〃T+ebTg&b+1oo这里.极限lim--是一型未定式，由洛必达法则易知其极限为0/?—>+