人大微积分课件6-2定积分在几何上的应用.ppt

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1、第二节定积分在几何上的应用平面图形的面积空间立体的体积平面曲线的弧长小结xyo曲边梯形的面积穿针法或微元素法曲边梯形的面积被积函数上-下、右-左一、平面图形的面积1直角坐标系情形解两曲线的交点，面积元素选为积分变量解方程组注被积函数为上-下，上为下为解两曲线的交点选为积分变量注被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积2.极坐标系情形解于是解利用对称性知解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积圆柱圆锥圆台二空间立体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成

2、的立体．这直线叫做旋转轴．1旋转体的体积xyo旋转体的体积为变化范围解直线方程为过原点及点解fx))()(22ppp+dxxfxxfdxxdV(2)(=-=证明：如图，体积元素利用公式，可知上例中2、平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积取平面与圆柱体的交线为轴，底面上过圆心、且垂直于轴的直线为轴解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积三平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念定理光滑曲线弧是可求长的.简介光滑曲线当曲

3、线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。就是弧长元素弧长由第三章的弧微分公式知2直角坐标情形解x2,1y=因为(1dxxds2)12+=从而弧长元素所以弧长为设曲线弧为弧长3参数方程情形解的一拱的长度.所以曲线弧为弧长4极坐标情形从例13求阿基米德螺线qar=)0(>a上相应于q0到p2的弧长.解1求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.2旋转体的体积直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3弧长的公式绕轴旋转一周绕轴旋转一周四小结