人大微积分课件9-5重积分的应用.ppt

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1、第五节重积分的应用问题的提出曲面的面积质心转动惯量引力小结二重积分的元素法.由定积分的元素法推广得到重积分的元素法.若要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即当闭区域分成许多小闭区域时，所求量相相应地分成许多部分量，且等于部分量之和)，并且在闭区域内任取一个直径很小的闭区域时，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内．这个称为所求的元素，记为，所求量的积分表达式为量一问题的提出三重积分的元素法.利用重积分的元素法可以讨论重积分在几何、物理上的一些应用若要计算的某个量对于空间闭区域具有可加性，并且在闭区域任取一个直径很

2、小的闭区域时,，相应地部分量可近似地表示为的形式，其中在内，这个称为所求量的元素，记为，所求量的积分表达式为１设曲面S的方程为：下面通过微元素法来计算曲面S的面积.二曲面的面积如图，先在闭区域D上任取一直径很小的闭区域，曲面S的面积元素曲面面积公式为：３设曲面的方程为：曲面面积公式为：２设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解卫星卫星解如图建立坐标系通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分，其方程为通讯卫星的覆盖面积与地球的表面积的比为力学中关于质心的计算公式最初是对质点给出的:三质心当薄片是均匀

3、的，质心坐标为解Oxy类似地，解取半球体的对称轴为轴，原点取在球心上，设球的半径为.力学中关于转动惯量的计算公式最初也是对质点给出的.(1)平面薄片的转动惯量四转动惯量薄片对于轴的转动惯量薄片对于坐标原点的转动惯量(２)空间物体的转动惯量例5求均匀的半圆环形薄片(面密度为)对其直径边的转动惯量．解所求为用极坐标计算其中为薄片质量．解原点取在球心上，设球的半径为.轴与轴重合，则球体占有空间闭区域,．点处的面密度为设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D在),(yx),(yxr，假定),(yxr在D上连续，计算该平面薄片

4、对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力)0(>a薄片对轴上单位质点的引力为引力常数五引力由积分区域的对称性知解所求引力为几何应用：曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力六小结与思考判断题