《微积分人大》PPT课件

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1、§7.6泰勒公式与泰勒级数一、泰勒公式泰勒中值定理泰勒公式与麦克劳林公式二、泰勒级数上页下页铃结束返回首页一、泰勒公式根据函数的微分，有f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0)(当

2、x-x0

3、很小时)，略掉o(x-x0)，得到求f(x)的近似公式f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)(当

4、x-x0

5、很小时)，其误差为R(x)=f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)。近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计。为了达到一定精确度的要求，可考虑用n次多项式Pn(x)近似f(x)。下页设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(

6、n1)阶导数，我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n来近似表达f(x)，我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等：f(x0)Pn(x0)，f(x0)=Pn(x0)，f(x0)Pn(x0)，f(x0)Pn(x0)，f(n)(x0)Pn(n)(x0)。下页一、泰勒公式Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n多项式系数的确定：a0，a0f(x0)，=a

7、1，a1=f(x0)，2!a2，3!a3，f(x0)Pn(x0)f(x0)=Pn(x0)f(x0)Pn(x0)f(x0)Pn(x0)f(n)(x0)Pn(n)(x0)n!an。Pn(x)a12a2(xx0)nan(xx0)n1，Pn(x)2a232a3(xx0)n(n1)an(xx0)n2，Pn(x)3!a3432a4(xx0)n(n1)(n2)an(xx0)n3，Pn(n)(x)n!an。下页Pn(x)a0

8、a1(xx0)a2(xx0)2an(xx0)n于是所求多项式为多项式系数的确定：下页泰勒中值定理：定理7.13如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n1)的阶导数，则当x(a,b)时，f(x)可以表示为展开式而Rn(x)的表达式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式，称为拉格朗日型余项。下页泰勒公式：。当x00时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是麦克劳林公式：首页如果f(x)在区间(a,b)内具有各阶导数都存在，则对于任意的正整数n，泰勒公式都成立。当n时，如果Rn(x)0，则得幂级数这一幂级数称

9、为函数f(x)的泰勒级数。在泰勒级数中取x00，得此级数称为f(x)的麦克劳林级数。结束二、泰勒级数