人大微积分课件5-2微积分基本定理

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1、一、积分上限函数及其导数二、积分上限函数求导法则三、微积分基本公式第二节微积分基本定理1.积分上限函数设在区间上连续，且，则存在，如积分上限在上任意变动，那么对于每一取定的值，均有唯一的数与之对应，所以是一个定义在上的关于的函数，记为一、积分上限函数及其导数称为积分上限函数.2.积分上限函数的几何意义积分上限函数在几何上表示为右端线可以变动的曲边梯形的面积.3.性质证(1)定理1若在上连续，则积分上限函数在上具有导数，且它的导数.即：另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分.此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，(2)定理2若函数在上连续，则积

2、分上限函数是在区间上的一个原函数.1.法则1若在上连续，是上的某一定点，则，有二、积分上限函数求导法则2.法则2若函数在闭区间上连续，是上的某一定点，函数可微，且，则有证令，，3.法则3若函数在区间上连续，，，且与都可微，则有证例1求解由法则1得4.例题例2求解由法则2得解由法则3得例3求例4求解这是一个型未定式，可利用洛必达法则计算，分子为由法则2得因此证1.定理3若函数是连续函数在区间上的一个原函数，则该公式叫微积分基本公式，也叫牛顿－莱布尼茨公式.三、微积分基本公式(为常数).令，令，则.2.说明(2)微积分基本公式揭示了定积分与原函数之间的关系，是它的任一原函数在上的增

3、量，也是函数在处的函数值.(1)微积分基本公式使用的条件是，被积函数在积分区间上必须连续，若不满足条件，不能使用公式.(3)为方便起见，记，例6求解3.例题例5求解例7设，求解解当时，求，在上的表达式.例8设，当时，所以，例9求解由例7，例8，例9可见，若被积函数在积分区间上存在有限个第一类间断点，或在积分区间上分段表示，或带有绝对值，应利用定积分在积分区间的可加性分段积分，以保证被积函数在各积分区间上的连续性或非负性.