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1、第一节二重积分的概念及性质一、引例二、二重积分的定义三、二重积分的性质一、引例解分三步解决这个问题.引例1质量问题.已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.分割将D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块和除边界外无公共点.与一元函数的情况类似，我们用符号既表示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,…,n).故所要求的质量m的近似值为近似、求和若记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值)，将任意一点处的密度近似看作为整个小块的面密度.得取极限记，则定义为所求薄板D的质量m.引例
2、2曲顶柱体的体积.若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.解也分三步解决这个问题.分割区域D用两组曲线任意分割成n个小块:其中任意两小块和除边界外无公共点.其中既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.近似、求和记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值)，在中任取一点,以为高而底为的平顶柱体体积为此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近似值可以取为取极限若
3、记，则定义为所讨论的曲顶柱体的体积.二、二重积分的定义定义1设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.分割用任意两组曲线分割D成n个小块其中任意两小块和除边界外无公共点，既表示第i小块，也表示第i小块的面积.近似、求和对任意点，作和式取极限若为的直径，记,若极限存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为(2)称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度在D上的二重积分.因此二重积分的物理意义可
4、以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.二重积分的几何意义：(1)若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).二重积分的存在定理若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在
5、D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).三、二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.性质1有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即性质3若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则性质4若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则性质5若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有推论性质6(估值定理)若在D上处处有m≤f(x,y
6、)≤M，且S(D)为区域D的面积，则(3)性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点，使(4)证由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，存在，使(5)(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点使取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值定理.例1设D是圆域：，证明解在D上，
7、的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.由估值公式(3)得第二节二重积分的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二、二重积分在极坐标系下的计算一、二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块从而有由定积分的几何应用：设一立体满足，在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体积设区域D的
8、边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为(1)在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间
