历届国际数学竞赛试题.doc

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1、历届国际数学竞赛试题第1届IMO1. 求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。2.  设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。3. a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜

2、边上的中线是两直角边的几何平均值。5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，   (a.)求证AF、BC相交于N点；  （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；   (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，

3、并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。第2届IMO1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2 < 2x+93. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tana=4nh/(an2-a).4. 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。5. 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABC

4、D，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z的轨迹。6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。   (a). 求证：V1不等于V2；   (b). 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都

5、是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。第3届IMO1. 设a、b是常数，解方程组x+y+z=a;  x2+y2+z2=b2;  xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2. 设a、b、c是某三角形的边，A是其面积，求证：a2+b2+c2>=4√3A.并求出等号何时成立。3. 解方程cosnx-sinnx=1,其中n是一个自然数。4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,B

6、P/PE,CP/PF中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。5. 作三角形ABC使得AC=b,AB=c，锐角AMB=a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是btan(a/2)<=c

7、出具有下列各性质的最小正整数n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。2. 试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)-√(x+1)>1/2.3. 正方体ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。4. 解方程cos2x+cos22x+cos2

8、3x=1。5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。第5届IMO1. 找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：√(x2-p