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1、第二届高等数学竞赛初赛试题注：试卷中题号相同的任选一个做，都做按第1个成绩记入总分。一、填空题（每小题4分，共32分，）1.已知/'（兀）=疋+q2+加在兀=1处収极小值3,则（7=,b=:2.若f（x）的导数连续Hlim八兀）_2夕=],则lim/（—）二•YT（）COSX-1Z）2x。与方的夹角为丝，则以G+2方和3C2+方为邻边的平行四边面积3S=4.fx3f(x2)dx若/(兀)连续，则Jxf(x)dx5.limf[exycos(x2-y)dxdy"5打打'5.『rJo牙_牙2改变二次积分的积分次序
2、
3、~f（x.y）dy=6.设u=xyz,则du(2JJ)7.8.航为宀宀。2的正向’则浮淨7T4•-,xsinx.3、丿7(+sinx)ax=-1+X（6分）计算曲面积分jj（x2+X）€/S,其中工是锥毗=+b及平面z=2所围成的区域的整个边界曲面。二.计算及证明1.计算町尿砾2.(6分)计算£ln(l+VxXx3.5.（6分）设D={(x,y)
4、x2+)，1},求:dcr6.（6分）设/(%)二£x2cos(t-x)dt,求fx).7.（8分）求过点（0,2,4）且与两平面兀+2z=1和y
5、-3z=2平行的直线方程7.（8分）x=z+2/…t,2—在平心旷"0上的投影直线方程。8.（8分）已知曲边三角形由抛物线），=2x及直线x=0,y=l所禺成,求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕直线y=0旋转所成旋转体的体积。9.（8分）设/（力在［0,1］上连续，且/（x）<1o证明方程2x-^f（t）dt=l在（0,1）内有且仅有一个根。10.（6分）设ab>Q,/（兀）在上连续，在S"）内可导，则存在,使第二届高等数学竞赛复赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1.jxarctanxdx
6、；2.设/（x）在兀=2处连续，且=则广（2）二；XT2X-21.设/（劝可导，「/（/）力=_?（1+兀），则广⑵=；J02.若艺为F+）2+z?=R?,则甘z'dS=；3.由方程护+严=2（y>0）所确定的函数y=/（x）的图象在x=0处的切线方程为7.设厶为正向的圆周/+)/=9,则曲线积分£(2xy-2y)dx+(%2-4x)dy=1&反常积分Jinxdx=o_o二、计算及证明题°1.求lim£(6分)XTOCOSX一12.求通过点(1-1,1)且垂直于平面兀—y+z—1=0和2兀+y+z+l=0的平
7、面方程。(8分)3.设/⑴在［0川上连续，且满足方程/(x)=3x-71-x2£f2(x)dx,求/(x).(8分)4.求JjJ；［；：［；；de，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.(8分)5.求旋转椭球面2〒+b+z2=i上距平面2x+y-z=6的最近距离的点(8分)6.已知曲线y=a4x(a>0)与曲线y=InVx在点(x0,y0)处有公共切线，求1)常数a和切点(心，儿)；2)求两曲线与兀轴所围平而图形的而积4；3)求2)中平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。(10分)7
8、.设函数u=e:一z+xy在点(2,1,0)处沿曲面，一z+xy=3法向的方向导数(8分)丄8.已知.f(x)在［0,1］上可微，且=，证明在(0,1)内至少存在一点使得/©=2护©。(5分)9.设F(x)=H)…工°,其屮/(X)具有连续导数，且/(0)=0,F(x)在x=0k“°处连续，求并讨论F'Cr)在x=0处的连续性。(7分)第三届高等数学竞赛初赛试题一、填空题（每小题3分，共36分）1.当xtO时，x—sinx与c#是等价无穷小，则。=2.兀=0是/(%)=<2"+1丄2;-1的第类x=0间断点。
9、3.若lim—^=2,则lim^^=；XTOf(3x)XTOx4.己知小之小，则©=:dx5.设f(O)=O,/'(O)=l,厂(0)=2,贝Himf(x~x=；XT()对6.f(x)=x2-^在［一3,-1［上的最大值是；最小值是:7./(x)=x(2x-1)(3%-2)•••(1OOx-99),贝ij/z(0)=；8.设x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由方程F(x,y9z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，则呼•字•¥=；dydzdxjr9.Q,0为单位向量，其夹角为彳，则以a+
10、20和3q+0为邻边的平行四边行的而积为；10.设z=Inyjx2+y2+arctan’十〉,则dz=:兀一y11.设S为球面x2+/+z2=/?2(/?>0),则曲面积分Jjz2dS=；S12.函数u=ln(x+7?+z2)在A(1,O,1)处沿点A指向B(3,—2,2)方向的方向导数是—；二、计算及证明题1.(6分)土二三三的直线方程。求limAl*-ln(l+xt)dt。XT()兀一J0/2.
