历届竞赛多元积分试题集锦.pdf

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1、天津市高数竞赛多元积分试题集锦x=y一、重积分x=y1yyyy12xx1.[01年(理工、经管)]计算I=+∫∫11deyxyxdde∫∫1d.y422解：先从给定的累次积分画出积分区域图,再交换累次积分次序,得到1yyyy1y1x1x31I=2dyexdx+dyexdx=dxexdy=x(e−e)dx=e−e.∫1∫1∫1∫y∫1∫x2∫1824222222xx−22.[02年(经管)]将二重积分I=∫∫d(xfx,y)dy变换积分次序得12−x11+−1y2I=∫∫02d(y−yfx,yx)d.3.[02年(经管)]设D为由折线x+y=1所围成的区域，D1，D2，D4为D

2、在第1、2、−+()xy24象限部分，则∫∫edxdy=（D）D−+()xy2−+()xy2D（A）4e∫∫ddxy；（B）4e∫∫ddxy；2D1D1D4D4−+()xy2−+()xy2（C）2ed∫∫xdy；（D）2ed∫∫xdy.DD12+DD14+4.[02年(经管)]计算I=+∫∫sin(xyxy)dd,其中区域D为：0≤x,y≤≤≤π02π.D解：把区域D划分为D1，D2，D3，其中Dx1=≥{()00,yx,y,≥xy+≤π}；Dx2=≤{}(),yx,y,x0≤π02≤≤ππ≤+y≤2π；Dx=≤{}(),yx,y,x0≤ππ≤≤≤2π2π+y.3在D1上s

3、in(x+y)≥0；在D2上sin(x+y)≤0；在D3上sin(x+y)≥0.故I=+−+++∫∫sin(xyxy)dd∫∫sin(xyxy)dd∫∫sin(xyxy)ddDDD123ππ−−xxπ2ππ2π=+∫∫dsxin()xyydds−+∫∫xin()xyydds++∫∫xin()xyyd000π−−xx02ππππ=+∫∫(1cos)dxx++−2dx∫(1cos)dxx=4π000xyz2225.[02年(理工)]设I=+∫∫∫(ee+e)dv，其中Ω:1x+yz,+≤≥z,0则ΩI=（D）zx（A）∫∫∫3edv；（B）∫∫∫3edv；ΩΩzyxz（C）∫∫∫

4、(2e+e)dv；（D）∫∫∫(2e+e)dv.ΩΩ1ππ6.[02年(理工)]计算I=+∫∫cos(xyxy)dd，其中区域D为：00≤x,y≤≤≤.D22π解：如图，用直线xy+=将区域D分为D1和D2两个区域，则2I=+−+∫∫cos(xyxy)dd∫∫cos(xyxy)ddDD12ππππ−x=+∫∫22dcxos()xyyddc−+∫∫2x2os()xyyd000π−x2ππ=−∫∫22(1sin)dxx−(cosx−=−1)dxπ2.0037.[03年(经管)]设f(u)是关于u的奇函数，D是由曲线x=1,y=−x,y=1所3围成的平面区域，则∫∫[(x+fxyx

5、y)]dd=（C）D12（A）0；（B）；（C）；（D）∫∫f()ddxyxy.47Dabsinϕϕ−−−−yxyx222222−−ybbsin22y8.[03年(经管)]计算I=+∫∫edyxyxed∫∫eded,其中0say22−ayinϕϕtanπ0,<<<

6、ddeθθ∫∫rdrxtanϕ0aDD222−−abϕϕb1−r2ee−=−−∫∫deθθd(r)=∫d00a22−−ab22ee−=ϕ.29.[03年(理工、经管)]设函数f(x,y)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零.证明：xf′+yf′−1xyf(00,)=lim∫∫ddxy,+22ε→02πDxy+222其中D为圆域ε≤x+y≤1.⎧xr=cosθ证明：取极坐标系，由⎨，得到⎩yr=sinθ∂∂ff∂x∂∂∂fyf∂f=⋅+⋅=cosθ+sinθ，∂∂∂∂∂∂rxryrx∂y2∂∂ff∂f将上式两端同乘r，得到rrrx=+=cosθθsinf′+yf

7、′.∂∂rx∂yxy于是有xfxy′′+yf1∂∂ff2π12π1Ix===∫∫ddy∫∫rrddrrθ∫dθθ∫d=∫f(cossin)dr,rθθxy22+r2∂∂rr00εεDD2π2π2π=−∫∫f,(cosθsin)dθθf,(cosεθεθθsin)d=0−∫f,(cosεθεθθsin)d0002π=−∫f,.(cossin)dεθεθθ0由积分中值定理，有If,=−⋅2π(cosεθεθsin)，其中02≤θ≤π.111xf′′+yf−1xy故lim∫∫ddxyf,)==lim(cosε