历届国际数学奥林匹克竞赛试题集IMO试题（1-44届

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1、第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程2acosx+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。5.在线段AB上任意选取

2、一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/

3、11等于N的各位数字的平方和。2.寻找使下式成立的实数x：224x/(1-√(1+2x))<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：2tanα=4nh/(an-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。a.求XY中点的轨迹；b.求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2

4、XZ的点Z的轨迹。6.一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。(a).求证：V1不等于V2；(b).求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。7.等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。第3届IMO1.设a、b是常数，解方程组22222x+y+z=a;x+y+z=b;xy=z并求出若

5、使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？2.设a、b、c是某三角形的边，A是其面积，求证：222a+b+c>=4√3A.并求出等号何时成立。nn3.解方程cosx-sinx=1,其中n是一个自然数。4.P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD,BP/PE,CP/PF中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。5.作三角形ABC使得AC=b,AB=c，锐角AMB=α,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是btan(α/2)<=c

6、三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A',B',C'，A'',B'',C''设分别是边AA',BB',CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么？第4届IMO1.找出具有下列各性质的最小正整数n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。2.试找出满足下列不等式的所有实数x：√(3-x)-√(x+1)>1/2.3.正方体ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一

7、点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。2224.解方程cosx+cos2x+cos3x=1。5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。6.一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。7.求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四

8、面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。第5届IMO1.找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）：22√(x-p)+2√(x-1)=x.2.给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角，试求出所有