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1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第8章曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算一、利用直角坐标计算二重积分当被积函数f（x，y）在区域D上连续时，若D为X–型区域则若D为Y–型区域则说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则例0计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域,且所以解例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围
2、的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,因此取D为Y–型域,及直线则例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,对应有二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线=常数,分划区域D为即设则特别,对例7计算二重积分其中积分区
3、域为解由对称性,可只考虑第一象限部分,注意到被积函数也有对称性,则有例8计算二重积分其中是由曲线所围成的平面区域.解以1为半径的圆域,积分区域是以点(1,0)为圆心,如图.其边界曲线的极坐标方程为于是区域的积分限为所以例9.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式①解计算概率积分例10记其平方于是根据上例的结果,即有令并利用夹逼定理,得故所求概率积分例11.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标
4、系情形:若积分区域为则若积分区域为则则极坐标系情形:若积分区域为(2)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式*作业8-22(2),(4);4(3),(4);9(2),(4);11(2),(4);解：原式备用题1.给定改变积分的次序.2.计算其中D为由圆所围成的及直线解：平面闭区域.交换积分顺序提示:积分域如图
