作业及试卷中出现的典型错误分析.doc

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1、作业及试卷中出现的典型错误分析例1.利用极限定义证明:.标准解答:恒有成立,故.错误证法1:要使,只须.而,故只须,取即可。错误分析：证明的前半部分：要使,只须并没有错。但随后将放大到，再由推出值就不对了。因为的上界，并不能保证。所以正确解法应是将缩小到，再由推出值。错误证法2:要使,只须.而,故只须,取即可。错误分析：极限的定义中,需为整数,而有可能不是整数,因此不能取.例2.计算下列极限:(1);标准解答:令其中因为,而且0,根据两边夹定理得.错误解法1:因为,而,故.错误分析:在的过程中,当充

2、分大时,有,故,在此条件下无法用两边夹定理。错误解法2:因为，且由，得.而根据两边夹定理得。错误分析:计算时，用到了不等式：，而此不等式并不成立。(2)标准解答:因为，而故根据两边夹定理得.错误解法1:因为，而故根据两边夹定理得.错误分析:由于故不能根据两边夹定理得出.解法中，不等式的右端项选取不合适。错误解法2：错误分析:被求极限的数列并不是固定几个存在极限的数列的乘积，因此不能直接用极限的四则运算法则。错误解法3：因为而故根据两边夹定理得.错误分析:不等式右端项中并不是等比数列若干项的和，因此不

3、能用等比数列求和公式。(3)标准解答:错误解法：错误分析:所求函数极限属于型，可通过其中一项的倒变换化为型或型，再运用洛必达法则求得极限。究竟化为型还是型需根据何者运用洛必达法则后求极限更容易。标准解答中将其化为型再运用洛必达法则求得极限，计算十分方便。而错误解法中将其化为型，运用洛必达法则后函数形式更加复杂，分母中幂次上升，由此计算下去，将无法求得极限。例3.设函数在闭区间上连续，在内可导,试证：在内至少有一点，使等式成立。标准解答:令，，它们在区间上连续，在内可导，且。满足柯西中值定理的三个条件

4、，于是在内至少有一点，使得错误证法：把等式左端改写成,即证.对函数与在区间上分别应用拉格朗日中值定理得及，两式相除即得结论。错误分析:对函数与在区间上分别应用拉格朗日中值定理即得及,由于两个中值公式中的不一定是相同的，因此不能两式相除得到结论。例4.计算标准解答:错误解法1：错误分析:用换元法计算定积分，在换元公式中,当积分变量由换成新变量时，积分限应由原来的变化区间[0，]换成相应的的变化区间[1，0]（积分限顺序不能随意调换），而上述解法中换元后积分限未作相应调整，由此导致计算错误。错误解法2：

5、错误分析:上述解法中并没有改变积分变量，所以此时改变积分限是错误的，只有换元才需要换积分限。例5.计算的导数标准解答：错误解法1：错误分析:解法中未把视为常数，从积分中提取出来再求导，而是将其视为被积函数直接用变上限的积分求导方法，导致计算错误。事实上，题中积分变量为，因此可视为常数。错误解法2：错误分析:解法中不能单纯地视为积分上限的函数求导，实际上是由和复合而成，因此计算其导数应用复合函数求导法则，并结合积分上限的函数的性质：.例6.计算标准解答：，由于故原积分发散。错误解法：错误分析:积分区间

6、是从小到大的，被积函数是正的，积分值不会是负的。错误原因在于没有注意到被积函数在积分区间内有一奇点：因此被积函数在积分区间上是无界函数，应用广义积分计算方法。