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1、第5章统计估值习题5.1（A）5.设在总体抽取一个容量为16的样本，这里均未知，求：.解因为,此处n=16,所以查自由度为15的分布表得,，所以=0.95.习题5.1（B）10．设为取自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（1）的方差；（2）与的协方差解（1）（2）习题5.2（A）2.设是取自总体的样本,试证下列统计量都是总体均值的无偏估计量,并在方差存在时指出哪一个估计最有效?哪一个估计的有效性最差？(1)(2)(3)解易见，都为总体均值的无偏估计量.而因为,故最有效.5.从均值为,方差为的正态总体中分别抽取容量为
2、和的两组独立样本,分别为两组样本的样本均值.试证:对任何常数,都是的无偏估计,并确定的值使在此形式的估计量中最有效.解令所以对任何满足的常数,都是的无偏估计.令f(a,b)=,求f(a,b)在a+b=1下的条件极值,可知当a=,b=时,f(a,b)最小,从而Y最有效.习题5.2（B）1．设总体的概率密度为为取自总体的简单随机样本，其样本方差为，求.解，4.设是总体的简单随机样本，分别为样本均值和样本方差，记.（1）证明T是的无偏估计量；（2）当μ=0,σ=1时，求D（T）.证(1)；(2)因为，又，所以5.设为取自总体N(0,)的
3、简单随机样本，为样本均值，记（1）计算概率；（2）若是的无偏估计量，求常数c.解因，故，因此（1）(2)令，可得7.设总体的概率分布123其中未知参数，以表示取自总体的简单随机样本（样本容量为）中等于的个数（）．试求常数（），使为的无偏估计量，并求的方差．解由于，所以令比较多项式系数可得，故，于是.（或由，亦知）习题5.3（A）4.已知某种材料的抗压强度,现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:482,493,457,471,510,446,435,418,394,469①求平均抗压强度的点估计值;②求平均抗压强度的95
4、%的置信区间;③若已知=30,求平均抗压强度的95%的置信区间;④求的点估计值;⑤求的95%的置信区间;⑥求的点估计值;⑦求的95%的置信区间.解(1)0(2)因为,故参数的置信度为0.95的置信区间是:,经计算,S=35.276,n=10,查自由度为9的分位数表得,,故==（432.30,482.70）(3)若已知=30,则平均抗压强度的95%的置信区间为:==[438.90，476.09](4)=S2=1240.28(5)因为,所以的95%的置信区间为:,其中,,所以置信区间为==（586.79,4134.27）(6)由(4)
5、S==35.276(7)由(5)的95%的置信区间为:=2.假设0.50,1.25,0.80,2.00是取自总体的样本值,已知服从正态分布.①求的数学期望(并记=);②求的置信度为95%的置信区间;③利用上述结果求的置信度为95%的置信区间.解①因为服从正态分布,从而=②因为,故当时,相应的由于已知,故的置信度为95%的置信区间为：易求得查表得=1.96,所以=(-0.98,0.98)③因为的置信度为95%的置信区间为(-0.98,0.98),而b=,由指数函数的严格单调性，有所以b的置信度为95%的置信区间为习题5.4（A）3.
6、已知总体服从瑞利分布，其密度函数未知参数>0,为取自该总体的样本.求的矩估计量和最大似然估计量,并问这两个估计量是不是无偏估计量?解先求的矩估计量，因为==2（令）====故EX=，，因此的矩估计量为.再求θ的最大似然估计量，当时，令可得的最大似然估计量为=.下面考察两个估计量的无偏性，因为（令）==2θ则====≠故不是的无偏估计量.====所以是的无偏估计量.4.设总体的对数函数服从正态分布,为取自总体的样本,求及的最大似然估计量.解设Y=lnX~N(u,σ2)，u的最大似然估计，故为u的最大似然估计.且为σ2的最大似然估计.
7、由于EX=，故EX的最大似然估计为.6.设总体X的分布函数其中未知参数为取自总体X的简单随机样本，求：（1）的矩估计量；（2）的最大似然估计量.解总体的概率密度函数（1），令，即得矩估计（2）似然函数为当时，，上式两端取对数，得令，得最大似然估计量习题5.4（B）1.一地质学家为研究某湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这100次观测相互独立，求这地区石子中石灰石的比例的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下：样品中的石灰石个数012345678910样品个
8、数016723262112310解法1任意10块石子中所含石灰石块数为随机变量，则，视为总体，为待估参数.由可得矩估计量.根据所给数据，因此.解法2根据“用频率近似概率”的思想，此地区任意一块石子是石灰石的概率为，而在抽取的1000块石子中，共有4
