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1、曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中是抛物线上点到之间的一段弧；解:由于由方程（）给出，因此.（2），其中是圆中到之间的一段劣弧；解:的参数方程为：，于是．（3），其中是顶点为及的三角形的边界；解:是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有，由于:，，于是，故，而,，于是40．故，同理可知（），，则．综上所述．（4），其中为圆周；解直接化为定积分．的参数方程为,（）,且．于是．（5），其中为折线段，这里,,,的坐标依次为,解如图所示，．线段的参数方程为，则，故．线段的参数方程为，则40故，线段的参数方程为，则，故所以．（
2、6），其中为空间曲线.解:在平面的投影为：，即，从而.利用椭圆的参数方程得的参数方程为由于.则.2设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中．则的参数方程为40，故，所以．3求八分之一球面的边界曲线的重心，设曲线的密度。解设曲线在坐标平面内的弧段分别为、、，曲线的重心坐标为，则曲线的质量为．由对称性可得重心坐标．故所求重心坐标为．4.计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）.解:如右图建立坐标系，则.为了便于计算，利用的参数方程于是40习题9-21设为面内一直线（为常数），证明。证明：设是
3、直线上从点到点的一段，其参数方程可视为，（），于是。2计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中为上半椭圆，其方向为顺时针方向；解.（2），其中为抛物线上从点到点的一段弧。解将曲线的方程视为以为参数的参数方程，其中参数从变到。因此。（3），其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧；解的方程为，则有．40的方程为，则．所以．（4）是从点沿上半圆周到点的一段弧；解利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0．则=．（5），其中沿右半圆以点为起点，经过点到终点的路径；解利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值
4、相应取，则。（6），其中是螺旋线：,,从到上的一段；40解（7），其中为从点到点的直线段；解直线的方程为化成参数方程得，，，从变到。所以。（8），为椭圆周且从轴正方向看去，取顺时针方向。解的参数方程为，，，从变到，。3设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。解因为力所以。4.设为曲线,,上相应于从变到的一段有向弧，把第二型曲线积分化成第一型曲线积分.解，故，于是40，，，所示。习题9-31当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?答当为面内的一个闭区域时，在面上的投影就是，于是有。2．设光滑物质曲面的面密度为，试用第一型曲面积分表示这个
5、曲面对于三个坐标轴的转动惯量，和.解在曲面上点处取一微小面积（面积元素），它可看作是面密度为的质点，其质量为，它对于轴的转动惯量为.于是整个曲面对轴的转动惯量为.同理可知曲面对轴和轴的转动惯量分别为，。3计算曲面积分，其中是（1）锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；解锥面与平面的交线为，即锥面在面上的投影区域为圆域。而40，，，因此。（2）面上的直线段绕轴旋转一周所得到的旋转曲面。解旋转曲面为，故，所以，其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是。4计算下列曲面积分:（1），其中是左半球面,；解.（2）,其中是锥面被柱面所截得的有限部分；40解被截得的曲面在
6、面上的投影区域是圆心在点直径为的圆域，即，由曲面的方程得，，，于是。（注：这里要用到被积函数的奇偶性：。）(3)，其中是抛物面在面上方的部分：,；解抛物面在面上方的部分在面上的投影为圆域,,故.(4)，其中是上半球面,；解上半球面在面上的投影为圆域,,,故40..（5），其中为平面在第一卦限的部分；解将曲面的方程改写为，则,，从而，图9－12在上的投影区域为,故．（6），其中是柱面被平面﹑所截得的部分.解将曲面分成丙个曲面:和，﹑在面上的投影区域都为,先算.由于,，从而40，.同理可求得.所以.5求抛物面壳（）的质量，此壳的密度为。解在抛物面壳（）上取一小块微小曲面,其质量整
7、个抛物面壳的质量为.在面上的投影为圆域,,故.习题9-41当为面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?答当为面内的一个闭区域时,的方程为。若在面上的投影区域为，那么，当取上侧时，上式右端取正号;当取下侧时，上式右端取负号。402计算下列第二型曲面积分:(1)，其中是椭球面的的部分，取椭球面的外侧为正侧；解当时，椭球面的方程是于是令，则.(2)，其中是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；解把分成下面六个部分:的上侧；的下侧；的前侧；的后侧；的右侧；的左侧.因为除﹑处,其余四片曲面在
