方程常见设元四法答案.doc

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1、方程常见设元“四法”解应用题时，首要任务是选设未知元，准确、恰当地设元往往有助于简化解题过程。设什么元需要根据具体问题的条件确定，下面就常见的四种设元法，例析如下：一、直接设元法“直接设元”就是将题目中要求的量设为未知元，即求什么设什么，这是最常用的设元法。例1：为了节约水资源，某市对城镇居民每月用水作如下规定：不超过3吨收费5元，3吨到5吨之间，每吨收费1.5元，5吨以上，每吨收费2.5元。若居民张大娘家3月份缴纳水费20.5元，请你帮张大娘算算，她家3月共用水多少吨？分析：此题是分段计算问题，只有一个未知量---3月份用水的吨数。因为5吨收费8元（5+1.5×2），因此张大娘

2、家3月份用水超过5吨。相等关系为“不超过3吨的费用+3吨到5吨之间的费用+超过5吨的费用=20.5”。解：设张大娘家3月用水x吨，则得方程：5+1.5×（5-3）+2.5×（x-5）=20.5x=10答：张大娘家3月共用水10吨。二、间接设元法所设的量不是要求的，但更易找出符合题意的相等关系，这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法，称之为“间接设元法”。对于一些采用直接设元法列方程比较困难的问题，而采用间接设元法，反而比较容易，就可以间接设元列方程，再求出题中的未知量。例2：小民和爷爷在400米的环形操场上跑步，同时同向从同一点出发，如果小民的速度是6米/秒，爷爷的速度是4米/

3、秒，问爷爷跑几圈后，小民超过爷爷一圈？分析：可以采用间接设元法，设经过x秒后，小民超过爷爷一圈。相等关系为“小民跑的路程-爷爷跑的路程=400米”。当然此题也可以用直接设元法去解，但列出的方程不易理解，同学们不妨一试。解：设经过x秒后，小民超过爷爷一圈，则得方程：（6-4）x=400x=200（4×200）÷400=2（圈）答：爷爷跑2圈后，小民超过爷爷一圈。三、辅助设元法对于一些较复杂的问题，往往条件隐含、关系交错。这时不妨引入辅助元，在已知量和未知量之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程。而所设辅助元在解题过程中被消去，不影响问题的结果。这种方法叫做“辅助设

4、元法”，也叫“设而不求法”。例3：甲从A地到B地需30分钟，乙从A地到B地需20分钟，若甲乙两人都从A地到B地，甲比乙早出发5分钟，问乙出发几分钟后追上甲？分析：由于路程一定时，速度与时间成反比，于是“甲速∶乙速=20∶30=2∶3”，这是此题的隐含条件，据此可增设辅助元甲速为2k米/分钟，乙速为3k米/分钟。相等关系为“甲走的路程=乙走的路程”。解：设乙出发x分钟后追上甲，又设甲速为2k米/分钟，乙速为3k米/分钟，得方程：3kx=2k×（5+x）因为k≠0，方程两边同时约去k，得方程：3x=2×（5+x）x=10答：乙出发10分钟后追上甲。四、整体设元法有些问题未知量太多，而

5、已知关系又太少，如果某一部分未知量存在一个整体关系，则可设这一部分为一个未知元，这样就减少了设元的个数，这种设元的方法叫做“整体设元法”。例4：一个五位数，个位数为4，这五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数。分析：在解此题时，可以把原五位数去掉个位数4以后得到的四位数看作一个整体，设其为x，就达到化难为易，化繁为简了。解：设原五位数去掉个位数后的四位数为x，则原五位数可表示为10x+4，得方程：（10x+4）+6120=4×10000+x，x=376410x+4=37644答：原

6、五位数为37644。