数列与三角函数练习题难题.doc

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1、［例1］［例2］设An为数列{an}的前n项和，An=(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;解：(1)由An=(an－1)，可知An+1=(an+1－1)，∴an+1－an=(an+1－an)，即=3，而a1=A1=(a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C·42n－1(－1)+…+C·4·(－1

2、)+(－1)2n］=4n+3，∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C·42n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)，∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.［例3］数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由..解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n

3、，(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1可用数学归纳法证明(略）.［例4］［例5］已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项bn；(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得：解得

4、b1=1,d=3,∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…(1+)］，logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小，取n=1时，有(1+1)＞取n=2时，有(1+1)(1+)＞…由此推测(1+1)(1+)…(1+)＞①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a＞1时，Sn＞logabn+1，②当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1，③［例1］[例2]在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________..解析

5、：∵A+B+C=π，A+C=2B，3、已知△ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.，求cos的值.解法一：由题设条件知B=60°，A+C=120°.设α=，则A－C=2α，可得A=60°+α，C=60°－α，依题设条件有整理得4cos2α+2cosα－3=0(M)(2cosα－)(2cosα+3)=0，∵2cosα+3≠0，∴2cosα－=0.从而得cos.解法二：由题设条件知B=60°，A+C=120°①，把①式化为cosA+cosC=－2cosAcosC②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为③，将cos=cos60°=，cos(A+C)=－代入③式得：④将cos(A－C)=

6、2cos2()－1代入④：4cos2()+2cos－3=0，(*)，例4、在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，则cos2(B+C)=__________.解析：∵A为最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°.∵cos(2A+C)=－，∴sin(2A+C)=.∵C为最大角，∴B为锐角，又sinB=.故cosB=.即sin(A+C)=，cos(A+C)=－.∵cos(B+C)=－cosA=－cos［(2A+C)－(A+C)］=－，∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)－1=.5、6、如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边

7、缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离r的平方成反比，即I=k·，其中k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcosθ，由此得：，7、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.8、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又