高二文科数学竞赛试题.doc

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1、高二文科数学竞赛试题一．选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不成分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位长B.向右平移个单位长C.向左平移个单位长D.向左平移个单位长3.已知函数，且，则（）A.B.C.D.4.设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1（）A.若确定，则唯一确定B.若确定，

2、则唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定5.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）6.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（　　）（A）（B）（C）（D）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.7.已知实数、、满足，，则的最大值为为_______.8.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。9.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆

3、截轴所得的弦的长，则圆的标准方程为。10.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于、，若满足，则双曲线的离心率是.三．解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.（本小题满分9分）海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。地区数量50150100（Ⅰ）求这6件样品中来自各地区样品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自

4、相同地区的概率。12.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别是。已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积。13.（本小题满分12分）在等差数列中，已知，是与等比中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设记，求.14.（本小题满分13分）设函数，其中为常数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性.15（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点.（i）设直

5、线的斜率分别为.证明存在常数使得，并求出的值；（ii）求面积的最大值.