经济数学基础——微积分及应用 高等职业教育十一五 规划教材 教学课件 作者 谭绍义 第一章函数与极限.doc

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1、《经济数学基础-微积分及应用》课程教案（一）课题：第一章　函数与极限　§1.1函数的概念与基本性质课时：2周次：授课日期：地点：授课方式及手段：课堂讲授教学目标：了解微积分的产生、发展历史，掌握函数、反函数、基本初等函数、复合函数的概念及函数的基本性质，能分解复合函数与求函数的表达式。教学重难点：复合函数的概念及复合函数的分解教学过程与内容：第一章　函数与极限§1.1函数的概念与基本性质一、微积分简介微积分（Calculus）是研究函数的微分学、积分学及有关概念和应用的数学分支。微积分是微分学和积分学的总称。它是一种数学思

2、想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分是人类智慧最伟大的成就之一。   极限和微积分的概念可以追溯到古代。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着积分学的思想。在我国古代也有

3、比较清楚的论述。比如我国的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在割圆术中就提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里吸取前人经验独自研究和完成了微积分的创立工作。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流

4、数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。    德国的莱布尼茨在201684年，发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。　　 微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工

5、程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二、微积分的主要内容1.函数与极限2.导数与微分3.导数的应用4.不定积分5.定积分及其应用三、函数的概念与基本性质1.函数的概念定义已知变量x与y,当变量x在某个非空集D内任取一个实数时，变量y有惟一确定的值与之对应，则称y为x的函数。记为如2.反函数的概念从函数出发，经过代数变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数

6、，则称它为函数的反函数，记为习惯上的反函数表示为　　3.复合函数（1）概念如果y是u的函数，，u是x的函数，，且当x在的定义域或该定义域的子集取值时，所对应的u，能使有定义，则称是x的复合函数，x是自变量，u是中间变20可见复合函数是函数的函数，例如：函数是由正弦函数与一次函数复合而成的，复合后的函数已经不是正弦函数了，而称之为正弦型函数，又如：由函数和复合而成的函数其定义域并不是中的x的取值范围R,而是R的子集，显然复合函数的定义域是内层函数定义的一部分，值得注意的是，不是任意两个函数都能构成一个复合函数，比如与就不能构

7、成复合函数，（2）复合函数的分解1）从里到外例：分解下列复合函数；2）从外到里例：分解下列复合函数（(学生练习：204．基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。5．分段函数与初等函数已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为分段函数。初等函数是指由常数与基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算，并可以用一个数学式子表达的函数例：基本初等

8、函数经过有限次的四则运算形成的函数，有时也称为简单函数高中以前学过的函数，绝大多数都是初等函数，函数的种类很多，人们为了表达量与量之间的关系，创建或自定义一个函数，只需要表明对应关系（一对一或多对一）和定义域即可。6.函数的基本性质(1)单调性　　设函数的定义域为，区间.若对任意的，，且都有，则称函数在