感悟“基本数学思想”.doc

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1、感悟“基本数学思想” 史宁中教授讲,要把数学教学中的“双基”发展为“四基”,即除了“基本数学知识”和“基本数学技能”之外,加上“基本数学思想”以及“基本数学活动经验”。当看到这句话只好我不禁在问“基本数学思想”是什么？百度了一下，现将内容与大家分享：布鲁纳提出：掌握基本数学思想和方法，能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号化与变换的思想”、“集合与对应的思想”和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。对中小学而言，大致可分为十个方面：即符号思想、映射思

2、想、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想和模型思想。对于这些基本思想，在具体的教学中要注意渗透，从低年级开始渗透，但不必要进行理论概括。而所谓数学方法则与数学思想互为表里、密切相关，两者都以一定的知识为基础，反过来又促进知识的深化及形成能力。方法，是实施思想的技术手段；而思想，则是对应方法的精神实质和理论根据。就中小学数学而言，大致有以下十种：变换与转化、分解与组合、映射与反映、模型与构造、概括与抽象、观察与实验、比较与分类、类比与猜想、演绎与归纳、假说与证明等。数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数

3、学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。真是一头雾水呀！史宁中教授又说，中国未来小学数学教育将转入更加注重内涵的改革深化阶段：其一，注重思考力的培养；其二，注重过程性经验的积累；其三，注重真正意义上的“理解”。  笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲

4、，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。  著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的

5、逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数学认识的一般性认识论是研究认识的本

6、质以及认识发生、发展一般规律的学说，它涉及认识的来源、感性认识与理性认识的关系、认识的真理性等问题。数学作为对客观事物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题；其认识过程，与其他科学认识一样，也必然遵循实践——认识——再实践这一辩证唯物论的认识路线。数学认识的特殊性科学的区分在于研究对象的特殊性。数学研究对象的特殊性就在于，它是研究事物的量的规定性，而不研究事物的质的规定性；而“量”是抽象地存在于事物之中的，是看不见的，只能用思维来把握，而思维有其自身的逻辑规律。概括数学本质的尝试数学认识的一般性表明，数学的感性认识表现为数学知识的经验性质；数学认识

7、的特殊性表明，数学的理性认识表现为数学知识的演绎性质。因此，认识论中关于感性认识与理性认识的关系在数学认识论中表现为数学的经验性与演绎性的关系。所以，认识数学的本质在于认识数学的经验性与演绎性的辩证关系。数学本质的辩证性数学的认识过程是：在解决现实问题的实践基础上获得数学的经验知识；然后上升为演绎性的理论知识（公理系统和形式系统）；再返回到实践中，通过解决现实问题而证实自身的真理性，完善或发展新的数学知识。这是辩证唯物论的认识论在数学认识论上的具体表现，反映了数学本质上是数学知识的经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一。演算的方法既然数学的本质是经验性与

8、演绎性在实践基础上的辩证统一，那么能否对数学的本质进一步作出哲学概括呢？即用简洁的语言表达数学