感悟数学思想, 积累数学活动经验

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1、感悟数学思想积累数学活动经验——从修订后的数学课程标准的两个案例说起吴正宪吴正宪，特级教师，北京教科院基教研中心小数室主任；国家基础教育课程教材专家工作委员会委员、义务教育课程标准学科审议专家，全国小学数学专业委员会副理事长；曾获“全国模范教师”光荣称号和北京市政府“人民教师奖”等。修订后的义务教育数学课程标准和大家见面了。我作为基层教师代表参与了教育部关于修订后的数学课程标准的审议工作。在这里不仅有了静心再读、再品、再思考的空间，更是拥有了与数学教育大家对话、交流、研讨的平台。反复研读讨论，感想多多……由于篇幅的限制，本文仅以

2、“感悟数学思想，积累数学活动经验”为角度，从两个案例说起。案例（一）图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。如下图： 教师们对此题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格。先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，以此估计不规则图形的面积。这是我们常用的方法。在这次修订后的数学课程标准的审议过程中，张恭庆院士的发言对我颇有启发。他认为这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵。在张恭庆院士的建议下，我们进行了讨论，课标修订组对此也作了认真修改，以充分体现该题

3、的数学教育价值。修订后的数学课程标准在对此案例的解读中，建议教师在教学时可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生边观察图形，边思考：“你认为曲线所围成的面积结果可能会在哪个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师还可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”，即以图形中的一个小方格为一个单位。再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲

4、线围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它圈出来，估计出这个曲线围成图形面积的上界（有113个这样的单位）。教师进一步引导学生发现，采用第一种方法估计的结果比实际面积小，使用第二种方法估计的结果比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积的可能的取值范围。如下图：  在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。教师还可以继续追问：“还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积？试一试！”这对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导

5、学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估计值，从而渗透极限思想。如下图：  同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一个操作技能―数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界、下界

6、的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近淮确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习是很有意义的。估算教学要通过在具体情境背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法，并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学活动的经验。案例（二）图形分类如下图，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类的标准？

7、根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。面对形状不同、颜色不同、扣眼数量不同的众多扣子，教师应该引导学生从何做起？如何利用学生已有的经验进行分类？又该如何表示记录这些分类的结果？怎样渗透分类的思想？教学中教师要注意结合具体的分类任务，设计有效的数学探究活动，使学生经历完整的分类过程。建议教师可以先放手让学生自己试一试，让他们在困惑中发现问题、提出问题、学会反思；再动手实践、归纳概括，形成正确的结论。具体建议是分四步完成：第一步，学生自己尝试，发现问题、提出问题。（为什么同样的

8、扣子分类的结果不一样？引起学生主动反思。）第二步，讨论确定分类标准。（让学生理解如何分类是要依赖分类标准的。例如，可以根据扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量制定分类的标准。注意引导学生反思分类标准的交错造成的分类结果的重叠与遗漏，如：按照颜色和形状划分，就会有