2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题三数列第3讲数列的综合问题练习文.doc

《2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题三数列第3讲数列的综合问题练习文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　数列的综合问题「考情研析」　　　　1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．　2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.核心知识回顾数列综合应用主要体现在以下两点：(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用

2、函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．热点考向探究考向1数列与函数的综合问题例1　(2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，且不等式

3、f(x)

4、≤2019

5、2x－x2

6、对任意的x∈[0,10]都成立，数列{an}是以7＋a为首项，公差为1的等差数列(n∈N*)．(1)当x∈[0,10]时，写出方程2x－x2＝0的解，并写出数列{an}的通项公式(不必证明)；(2)若bn＝an·an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有Sn

7、立，求m的取值范围．解　(1)因为x∈[0,10]时，易知方程2x－x2＝0的解为x＝2，x＝4，由不等式

8、f(x)

9、≤2019

10、2x－x2

11、对任意的x∈[0,10]都成立，可得即解得所以f(x)＝x2－6x＋8，又数列{an}是以7＋a＝1为首项，公差为1的等差数列，所以an＝n.(2)由(1)知bn＝an·an＝n·n，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1·＋2·2＋3·3＋…＋n·n，①Sn＝1·2＋2·3＋3·4＋…＋n·n＋1，②-15-①－②得，Sn＝＋2＋3＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1＝－，整理得，Sn＝－，由>0可得Sn<，由Sn

12、数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量a＝(Sn,1)，b＝，满足条件a∥b.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设函数f(x)＝x，数列{bn}满足条件b1＝1，f(bn＋1)＝.①求数列{bn}的通项公式；②设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解　(1)∵a∥b，∴Sn＝2n－1，Sn＝2n＋1－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n；当n＝1时，a1＝S1

13、＝2，满足上式，∴an＝2n.(2)①∵f(x)＝x，f(bn＋1)＝，∴bn＋1＝，∴＝.∴bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1.又∵b1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝n.②cn＝＝，Tn＝＋＋…＋＋，-15-两边同乘得，Tn＝＋＋…＋＋，上述两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，∴Tn＝2－(n∈N*)．考向2数列与不等式的综合问题例2　(2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0且2Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an>0，令bn＝，数列{bn}的前n项

14、和为Tn，若Tn0，∴an＝n，bn＝＝2，Tn＝2＝2＝3－<3，若Tn

15、和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩．(2)注意放缩的尺度：如<，<.-15-(2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列的前n项和Sn＝n，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对于任意的n∈N*，都有Tn<1.解　(1)因为Sn＝n，　①当n≥2时，Sn－1＝n－1，　②由①－②，得＝1，故an＝n＋1又因为a1＝2适合上式，所以an＝n＋1(