高考数学大二轮专题复习：第二编数列的综合问题.doc

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1、新高考二轮复习·数学(新课程版)第3讲　数列的综合问题「考情研析」　1.从具体内容上，数列的综合问题主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式；②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．　2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现．核心知识回顾数列的综合问题(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知

2、识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．热点考向探究考向1　数列与函数的综合问题例1　(1)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，函数f(x)＝x3＋an＋1－an－cos为奇函数，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2020的值是(　　)A．B．1011C．1008D．336新高考二轮复习·数学(新课程版)答案　A解析　函数f(x)＝x3＋an＋1－an－cos为奇函数，则f(0)＝an＋1－an－cos＝0，即an＋1－an＝cos，cos的周期为6.a2－a

3、1＝，a3－a2＝－，a4－a3＝－1，a5－a4＝－，a6－a5＝，a7－a6＝1.∴a1＝1，∴a2＝，a3＝1，a4＝0，a5＝－，a6＝0，a7＝1，an以6为周期循环．故S2020＝336(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＋a4＝.故选A.(2)(2020·广东省汕头市三模)已知数列{an}的首项a1＝21，且满足(2n－5)an＋1＝(2n－3)an＋4n2－16n＋15，则{an}中最小的一项是(　　)A．a5B．a6C．a7D．a8答案　A解析　由已知得＝＋1，＝－7，所以数列是首项为－7，公差为1的等差数列，＝－7＋(n－1)＝

4、n－8，则an＝(2n－5)(n－8)＝2n2－21n＋40，因为＝5.25，所以{an}中最小的一项是第5项．故选A.数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．新高考二轮复习·数学(新课程版)Sn是等差数列{an}的前n项和，对任意正整数n，2Sn是anan＋1与1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的最大项与最小项．解　(1)设{an}的首项为a1，公差为d，取n＝1，2，得解得或当a

5、1＝1，d＝2时，an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，Sn＝n2满足条件；当a1＝，d＝－时，a3＝－，a4＝－，S3＝0不满足条件，舍去，综上，数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)＝，记f(x)＝＝－1＋，f(x)在(－∞，4.5)与(4.5，＋∞)上都是增函数(图象如图所示)，对数列，当n≤4时，递增且都大于－1，当n≥5时，递增且都小于－1，数列的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为－11.新高考二轮复习·数学(新课程版)考向2　数列与不等式的综合问题例2　(1)(2020·天津市滨海新区模拟)已知b∈R，数列{an}为等比数列，a1＝1，a2

6、＋a3＝－，数列{an}的前n项和为Sn，若b2－≤S2n对于任意n∈N*恒成立，则b的取值范围为(　　)A．B．∪[1，＋∞)C.D．答案　A解析　∵数列{an}为等比数列，a1＝1，a2＋a3＝－，∴q＋q2＝－⇒q＝－，∴S2n＝＝＝为单调递增数列，故其最小值为S2＝＝.∵b2－≤S2n对于任意n∈N*恒成立，即b2－b≤⇒2b2－b－1≤0⇒－≤b≤1.故选A.(2)(2020·浙江名校高考仿真卷)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝＋(n∈N*，且n≥2).①求数列{an}的通项公式；②证明：当n≥2时，＋＋＋…＋<.解　①由a

7、n＝＋，得Sn－Sn－1＝＋，即－＝1(n≥2)，所以数列{Sn}是以＝＝1为首项，以1为公差的等差数列，新高考二轮复习·数学(新课程版)所以＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1，也满足上式，所以an＝2n－1.②证明：当n≥2时，＝<＝×＝，所以＋＋＋…＋<1＋＝－<.(1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求